二阶行列式

先来看中国古代的一个 鸡兔同笼 问题.

二元一次方程组一般化

我们将二元一次方程组一般化, 来观察解的特点. 考虑二元一次线性方程组 \left\{ \begin{array}{l} {a}_{11}{x}_{1} + {a}_{12}{x}_{2} = {b}_{1}, \\ {a}_{21}{x}_{1} + {a}_{22}{x}_{2} = {b}_{2}. \end{array}\right. \tag{1.2} 当 $a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\ne 0$ 时,由消元法可得方程组的解为 \left\{ \begin{array}{l} {x}_{1} = \frac{{b}_{1}{a}_{22} - {b}_{2}{a}_{12}}{{a}_{11}{a}_{22} - {a}_{12}{a}_{21}}, \\ {x}_{2} = \frac{{b}_{2}{a}_{11} - {b}_{1}{a}_{21}}{{a}_{11}{a}_{22} - {a}_{12}{a}_{21}}. \end{array}\right. \tag{1.3} 这就是二元一次线性方程组 (1.2) 的公式解.

据此, 我们引进二阶行列式的概念.

定义 1.1. 二阶行列式

令 $D=\left|\begin{array}{ll}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21},$ 其中 $\left|\begin{array}{ll}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$ 叫做 二阶行列式, 这里 $a_{11},a_{22}$ 所在的斜线称为二阶行列式的 主对角线,相应地 $a_{11},a_{22}$ > 称为 主对角线元素,而 $a_{12},a_{21}$ 所在的斜线称为 副对角线. 显然, 其值由主、副对角线元素的积作差得来.

行列式表达方程组的解

当 $D=\left|\begin{array}{ll}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\ne 0$ 时,借助于二阶行列式这个新概念,方程组 (1.2) 的公式解可简记为 $\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{D_1}{D}\\ x_2=\frac{D_2}{D}\end{array}$ 其中 $D_1=\left|\begin{array}{ll}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|,D_2=\left|\begin{array}{ll}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|$

Example

我们回顾那道 鸡兔同笼 的题目, 在方程组 (1.1) 中,

$$\begin{array}{rl}D& =\left|\begin{array}{ll}1& 1\\ 2& 4\end{array}\right|=2\ne 0\\ D_1& =\left|\begin{array}{ll}35& 1\\ 94& 4\end{array}\right|=46\\ D_2& =\left|\begin{array}{ll}1& 35\\ 2& 94\end{array}\right|=24,\end{array}$$

于是 $x_1=\frac{D_1}{D}=23,x_2=\frac{D_2}{D}=12$ 即笼中有鸡 23 只,兔子 12 只.