定理 5.2 必须匹配

定理 5.2.

在 $n$ 阶行列式 $D = ∣ a_{ij} ∣$ 中,某一行 (列) 元素与另一行 (列) 相应元素的代数余子式乘积的和等于零,于是对于 $1 \leq i, j \leq n$ ,下面的等式成立 $a_{i 1} A_{j 1} + a_{i 2} A_{j 2} + \dots + a_{in} A_{jn} = 0 (i \neq = j),$ $a_{1 i} A_{1 j} + a_{2 i} A_{2 j} + \dots + a_{ni} A_{nj} = 0 (i \neq = j) .$

\begin{proof} 只需证明 “某一行元素与另一行相应元素的代数余子式乘积的和等于零” 这一结论即可, 对列的结论类似可证.

将行列式 $D = ∣ a_{ij} ∣$ 的第 $j$ 行元素换成第 $i$ 行元素得到新的行列式,记为 $D_{1}$ , 因为 $D_{1}$ 的第 $j$ 行与第 $i$ 行完全相同,由推论 4.1 知, $D_{1} = 0$ .

另一方面,由于行列式某个元素 $a_{s t}$ 的代数余子式是去掉它所在的行和列之后的余子式 $M_{s t}$ 与符号 $(- 1)^{s + t}$ 的乘积,与元素 $a_{s t}$ 本身无关,故新行列式 $D_{1}$ 第 $j$ 行元素的代数余子式 $A_{jk}^{'}$ 与 $D$ 第 $j$ 行对应元素的代数余子式 $A_{jk}$ 完全相同,即

$A_{jk}^{'} = A_{jk}, k = 1, 2, \dots, n$ . 有 $D_{1} = k = 1 \sum n a_{ik} A_{jk}^{'} = k = 1 \sum n a_{ik} A_{jk} = 0$ 这样, $a_{i 1} A_{j 1} + a_{i 2} A_{j 2} + \dots + a_{in} A_{jn} = k = 1 \sum n a_{ik} A_{jk} = 0,$

即第 $i$ 行元素与第 $j$ 行 $(j \neq = i)$ 相应元素的代数余子式乘积的和等于零, 则由 $i$ 和 $j$ 的任意性知结论成立. \end{proof}

Youliang Zhong

定理 5.2 必须匹配

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