1.5 行列式按一行 (列) 展开及克拉默法则

我们知道在数学研究中很多问题都会有一个由复杂到简单的转变过程. 像我们熟知的消元、降次、拆分、重组等, 都是复杂的问题简单化. 那么行列式的计算能不能通过这样的途径来化难为易呢?

先考察比较简单的 3阶行列式降阶. 这种降阶方法对于高阶行列式同样适用. 本节将重点介绍这种方法: 行列式按一行 (列) 展开定理.

在给出克拉默 (Cramer) 法则之前先来看一个重要的结论: 定理 5.2 必须匹配.

将定理 5.1 和定理 5.2 综合起来我们得到 $a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+\cdots +a_{in}{A}_{jn}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}=\{\begin{array}{ll}D,& i=j,\\ 0,& i\ne j,\end{array}$ $a_{1i}{A}_{1j}+a_{2i}{A}_{2j}+\cdots +a_{ni}{A}_{nj}=\sum _{k=1}^n{a}_{ki}{A}_{kj}=\{\begin{array}{ll}D,& i=j,\\ 0,& i\ne j.\end{array}$

利用行列式的理论,下述克拉默法则将 1.1 二阶与三阶行列式 中关于二元、三元线性方程组的解的公式推广到具有 $n$ 个方程 $n$ 个未知量的线性方程组的情形: 克拉默法则.

最后, 我们来介绍 拉普拉斯展开定理