对角线 & 三角行列式

对角线 & 三角行列式

在行列式中,

• 由左上角到右下角所形成的斜线称为 主对角线,
• 由右上角到左下角所形成的斜线称为 副对角线.

对于 例题 3.3 的 $n$ 阶行列式,

• 在主对角线下方的元素全为零, 称为 上三角形 行列式
• 若主对角线上方的元素全为零, 则称为 下三角形 行列式.
• 上三角形行列式和下三角形行列式统称为 三角形 行列式.
• 若除了主对角线之外的元素全为零, 则称为 对角 行列式.

对于如下行列式, 根据定义可得

$$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& a_{1n}\\ 0& 0& \cdots & a_{2,n-1}& a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& a_{n-1,2}& \cdots & a_{n-1,n-1}& a_{n-1,n}\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{n,n-1}& a_{nn}\end{array}\right|\\ & \\ =& {\left(-1\right)}^{\frac{1}{2}n\left(n-1\right)}{a}_{1n}{a}_{2,n-1}\cdots a_{n1}.\end{array}$$