性质 4.3 交换行変号

性质 4.3.

交换任意两行 (列) 的位置, 行列式变号.

\begin{proof} 设行列式为 $D = a_{11} ⋮ a_{p 1} ⋮ a_{q 1} ⋮ a_{n 1} a_{12} ⋮ a_{p 2} ⋮ a_{q 2} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} ⋮ a_{p n} ⋮ a_{q n} ⋮ a_{nn} .$

交换 $D$ 的 $p, q$ 两行得 $D_{1} = a_{11} ⋮ a_{q 1} ⋮ a_{p 1} ⋮ a_{n 1} a_{12} ⋮ a_{q 2} ⋮ a_{p 2} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} ⋮ a_{q n} ⋮ a_{p n} ⋮ a_{nn} .$

不计符号,任取 $D$ 的一项 $a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{p j_{p}} \dots a_{q j_{q}} \dots a_{n j_{n}}$ , 它是来自 $D$ 的不同行不同列 $n$ 个元素的乘积,因为 $D_{1}$ 和 $D$ 只是在两行之间交换了位置,这一项也是 $D_{1}$ 的一项,反之亦然. 所以不计符号,二者有着完全相同的项,这样我们只需比较该项在 $D$ 和 $D_{1}$ 中的符号. 该项在 $D$ 中的符号为 $(- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{p} \dots j_{q} \dots j_{n})}$ , 在 $D_{1}$ 中的符号为 $(- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{q} \dots j_{p} \dots j_{n})}$ , 由定理 2.1 知,以上两式符号相反. 由于该项可任意选取,故 $D_{1} = - D$ . \end{proof}

推论 4.1.

若行列式有两行 (列) 完全相同, 则行列式为零.

\begin{proof} 设行列式 $D$ 有 $i, j$ 两行 (列) 完全相同,交换 $i, j$ 行 (列) 形成的新行列式,记为 $D_{1}$ ,则 $D_{1} = D$ . 又由行列式的性质 4.3 知, $D_{1} = - D$ ,于是 $D = - D$ , 从而有 $D = 0$ . \end{proof}

Youliang Zhong

性质 4.3 交换行変号

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