性质 4.4 行列式线性性

性质 4.4.

行列式具有线性性, 即 1.
$= a_{11} ⋮ b_{1} + c_{1} ⋮ a_{n 1} a_{12} ⋮ b_{2} + c_{2} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} ⋮ b_{n} + c_{n} ⋮ a_{nn} a_{11} ⋮ b_{1} ⋮ a_{n 1} a_{12} ⋮ b_{2} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} ⋮ b_{n} ⋮ a_{nn} + a_{11} ⋮ c_{1} ⋮ a_{n 1} a_{12} ⋮ c_{2} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} ⋮ c_{n} ⋮ a_{nn}; (2)$

$a_{11} ⋮ k a_{i 1} ⋮ a_{n 1} a_{12} ⋮ k a_{i 2} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} ⋮ k a_{in} ⋮ a_{nn} = k a_{11} ⋮ a_{i 1} ⋮ a_{n 1} a_{12} ⋮ a_{i 2} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} ⋮ a_{in} ⋮ a_{nn} .$

行列式的线性性对于列也同样适用.

\begin{proof}

LHS = j_{1} j_{2} \dots j_{n} \sum (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} \dots (b_{j_{i}} + c_{j_{i}}) \dots a_{n j_{n}} = j_{1} j_{2} \dots j_{n} \sum (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} \dots b_{j i} \dots a_{n j_{n}} + j_{1} j_{2} \dots j_{n} \sum (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a 1 j_{1} \dots c_{j i} \dots a_{n j_{n}} = RHS

LHS = k j_{1} j_{2} \dots j_{n} \sum (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} \dots a_{i j_{i}} \dots a_{n j_{n}} = RHS

\end{proof}

此性质表明,

若某一行 (列) 是两组数的和,
则这个行列式就等于两个行列式的和,
- 而这两个行列式除这一行 (列)之外全与原行列式的对应行 (列) 一样;
一行的公因子可以提出来,
- 或者说用一个数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式.

推论 4.2.

若行列式有两行 (列) 成比例, 则行列式为零, 即 $a_{11} ⋮ a_{p 1} ⋮ k a_{p 1} ⋮ a_{n 1} a_{12} ⋮ a_{p 2} ⋮ k a_{p 2} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} ⋮ a_{p n} ⋮ k a_{p n} ⋮ a_{nn} = 0$

\begin{proof} 结合性质 $4.4 (2)$ 和推论 4.1 即得. \end{proof}

推论 4.3.

行列式某一行 (列) 的 $k$ 倍 $(k \neq = 0)$ 加到另一行 (列),行列式不变, 即

= a_{11} ⋮ a_{p 1} ⋮ a_{q 1} ⋮ a_{n 1} a_{12} ⋮ a_{p 2} ⋮ a_{q 2} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} ⋮ a_{p n} ⋮ a_{q n} ⋮ a_{nn} a_{11} ⋮ a_{p 1} ⋮ a_{q 1} + k a_{p 1} ⋮ a_{n 1} a_{12} ⋮ a_{p 2} ⋮ a_{q 2} + k a_{p 2} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} ⋮ a_{p n} ⋮ a_{q n} + k a_{p n} ⋮ a_{nn},

\begin{proof} 结合性质 $4.4 (1)$ 和推论 4.2 可得. \end{proof}

Youliang Zhong

性质 4.4 行列式线性性

Graph View

Backlinks