定理 3.2 总等价于等价标准形

定理 3.2. 总等价于等价标准形

任何一个 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 都与一个形如

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

的矩阵等价.

在矩阵 $(3.2)$ 中,

• $(1,1),(2,2),\cdots ,(r,r)$ 位置的元素为 1 ,
• 其余为零.

显然当 $r=0$ 时，上述矩阵为零矩阵。

\begin{proof}

• 定理 3.1 已经证明 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{mn}$ 可经过一系列初等行变换化成阶梯形矩阵（3.1）。
• 设其中 $a_{1j_1},a_{2j_2},\cdots ,a_{r{j}_r}$ 为所在行的第 1 个不为零的元素，且有 $j_1<j_2<\cdots <j_r$ 。
• 同时，后 $m-r$ 行元素全为零。
• 依次将第 $1,j_1$两列互换，第 $2，j_2$ 两列互换， $\cdots$ ，第 $r，j_r$ 两列互换，就把这些非零元素换到主对角线上，成为所在各行的第 1 个非零元素.
• 用适当的非零元素去乘各行可使主对角线上前 $r$ 个元素成为 1 ，然后各列加上第 1 列的适当倍数可使第 1 行中除 $(1,1)$ 位置上的 ” 1 ” 以外全化成 ” 0 “，再把各列加上第 2 列的适当倍数可使第 2 行中除对角线上的 ” 1 ” 以外也全化成 ” 0 ”。
• 继续这一过程，最后化成 (3.2) 的形状. \end{proof}