阶梯形矩阵

阶梯形矩阵

为适应用消元法解线性方程组的需要，我们有下列定义。

定义 3.3. 阶梯形矩阵

一个 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{mn}$ 称为 阶梯形矩阵，如果其满足

1. 若某行中每个元素都为 0 , 那么位于该行下面各行元素也全为 0 ;
2. 若有非零元素且非零元素出现于前 $r$ 行，设第 $i(i=1,2,\cdots ,r)$ 行中左起第 1 个非零元素为 $a_{i{j}_i}$ ，

• 则有 $j_1<j_2<\cdots <j_r$ ，
• 也就是说，各个非零行的左起第一个非零元素的列指标由上至下严格递增。

根据这个定义, 阶梯形矩阵的形状为

$$\left(\begin{array}{ccccccccccc}0& \cdots & 0& a_{1j_1}& \cdots & a_{1j_2-1}& a_{1j_2}& \cdots & a_{1j_r}& \cdots & a_{1n}\\ 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& a_{2j_2}& \cdots & a_{2j_r}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & a_{r{j}_r}& \cdots & a_{rn}\\ 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& \cdots & 0\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

其中 $a_{1j_1},a_{2j_2},\cdots ,a_{r{j}_r}$ 均不为零。

例如， $\left(\begin{array}{rrrrr}1& 0& 4& -2& 1\\ 0& -1& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 3& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{rrrr}0& 2& -1& 0\\ 0& 0& 0& 6\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{llll}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$ 都是阶梯形矩阵.

定理 3.1 总等价于阶梯形矩阵

以后我们用 ” $\mathbf{A}⟶\mathbf{B}$ “表示 $\mathbf{A}$ 经一次（或几次）初等变换化成 $\mathbf{B}$ 。下面给出一个例子。

例题 2.3.1

如果不局限于初等行变换，定理3.1可加强为定理3.2.

定理 3.2 总等价于等价标准形

定理 3.2 断言每个 $m\times n$ 矩阵都可经过一系列初等变换化成 (3.2) 的形状.

定理3.2的证明建立在定理3.1的基础上，即先把 $\mathbf{A}$ 化成阶梯形，然后化成 (3.2) 的形状. 但实际计算时不必先化成阶梯形，而根据需要选择行变换和列变换的顺序。

• 若 $\mathbf{A}$ 与（3.2）的矩阵等价，则后者称为 $\mathbf{A}$ 的 等价标准形。
• 等价标准形中 ” 1 “的个数是一个重要的数据。