例题 2.1.1

Question

证明集合 $F=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$ 构成一个数域。

\begin{proof} 首先注意，

• 若 $a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2}$ ，

  • 则必有 $a=c$, $b=d$ 。

• 特别地，当 $a+b\sqrt{2}=0$ 时，必有 $a=b=0$ 。

• 因为 $\mathbb{Q}\subset F$ ，所以 $F$ 中有无穷多个元素。

• 若有 $\alpha =a+b\sqrt{2}$, $\beta =c+d\sqrt{2}\in F$ ，则

$$\begin{array}{rl}\alpha \pm \beta & =(a+b\sqrt{2})\pm (c+d\sqrt{2})\\ & =(a\pm c)+(b\pm d)\sqrt{2}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\alpha \beta & =(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})\\ & =(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}\end{array}$$

因为当 $a,b,c,d$ 为有理数时，

• $a\pm c,b\pm d,ac+2bd,ad+bc$ 也为有理数，

• 所以 $\alpha \pm \beta$, $\alpha \beta \in F$.

• 设 $\beta =c+d\sqrt{2}\ne 0$ ，则

  • $c,d$ 不全为 0 ，
  • 并且 $c^2-2d^2\ne 0$ 。

• 于是

$$\begin{array}{rl}\frac{\alpha }{\beta }& =\frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}\\ & =\frac{(a+b\sqrt{2})(c-d\sqrt{2})}{(c+d\sqrt{2})(c-d\sqrt{2})}\\ & =\frac{ac-2bd}{c^2-2d^2}+\frac{bc-ad}{c^2-2d^2}\sqrt{2}\end{array}$$

• 由于 $\frac{ac-2bd}{c^2-2d^2},\frac{bc-ad}{c^2-2d^2}$ 为有理数，所以 $\frac{\alpha }{\beta }\in F$ 。

依定义 $F$ 为数域。 \end{proof}