1. 矩阵的定义

• 在数学上，矩阵是指纵横排列的数据表格，最早来自于方程组的系数所构成的方阵。
  • 这一概念由 19 世纪的英国数学家凯莱（Cayley）首先提出
• 矩阵是线性代数中的一个重要部分，自始至终贯穿于线性代数中。
  • 它联系着行列式、线性方程组、二次型、向量空间和线性变换等，几乎无所不及。
• 矩阵在生产实践中也有许多应用，比如假设某种物资
  • 有 3 个产地 ${\mathrm{A}}_1,{\mathrm{A}}_2,{\mathrm{A}}_3$ ，
  • 有 4 个销售点 ${\mathrm{B}}_1,{\mathrm{B}}_2,{\mathrm{B}}_3,{\mathrm{B}}_4$ ，
• 那么一个调运方案就可以用数表

$a_{11}$	$a_{12}$	$a_{13}$	$a_{14}$
$a_{21}$	$a_{22}$	$a_{23}$	$a_{24}$
$a_{31}$	$a_{32}$	$a_{33}$	$a_{34}$
来表示，

• 其中 $a_{ij}$ 表示由产地 ${\mathrm{A}}_i$ 运到销售点 ${\mathrm{B}}_j$ 的数量。

在我们给出矩阵的严格数学定义之前先给出数域的概念。

定义1.1 数域

对于一个复数集合的子集合 $F$，如果

• 至少含有 0, 1
• 其中任意两个数的
  • 和、
  • 差、
  • 积、
  • 商（除数不为 0 ）
• 仍在 $F$ 中，

那么 $F$ 称为一个 数域。

由定义易知，

• 所有的有理数形成一个数域，称为 有理数域，用 $\mathbb{Q}$ 表示；
• 所有的实数形成 实数域，用 $\mathbb{R}$ 表示；
• 所有的复数形成 复数域，用 $\mathbb{C}$ 表示。
• 所有的奇数不能构成数域，
• 所有的偶数也不能构成数域。

例题 2.1.1

• 这样，我们以前学过的有理数集、实数集、复数集就都统一到数域这个一般的概念里面来.
• 在线性代数中，讨论的问题总是限定在某一个数域，比如复数域、实数域，甚至像上述例题 1.1 提到的其他数域中进行。
• 有时为了方便，甚至就在一般的数域 $F$ 上讨论。

定义 1.2 矩阵

• 矩阵 是指由数域 $F$ 中的 $m\times n$ 个数排成 $m$ 行（横） $n$ 列（坚）的表, 即

a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \tag{1.1}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right)$$ - 我们称它为一个数域 $F$ 上的 $m \times n$ 矩阵。 - 通常用大写英文黑斜体字母表示矩阵，上述矩阵可以简记为 - $\boldsymbol{A}$, - $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m n}$, - $\boldsymbol{A}_{m n}$ - $\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{m} \times n}$ 。 - 其中 $a_{i j}(i=$ $1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)$ 称为 - 矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列上的元素， - 简称 $(i, j)$ 元素。 - 当所有的 $a_{i j}$ 都是实数时，我们就称矩阵 (1.1) 为 **实矩阵**； - 当所有的 $a_{i j}$ 都是复数时，我们就称矩阵 (1.1) 为 **复矩阵**。Link to original

在本章中, 如果没有特别说明, 都假定所讨论的矩阵是复数域 $\mathbb{C}$ 上的矩阵.

• 当两个矩阵的行和列的个数分别相等时，称它们是 同型 矩阵，
  • 若这两个矩阵在相同位置上的元素都相等, 那么称两个矩阵 相等,
  • 即 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{st}=\mathbf{B}={\left(b_{ij}\right)}_{mn}$当且仅当
    • $s=m$,
    • $t=n$
    • 且 $a_{ij}=b_{ij}$, $i=1,2,\cdots ,s;j=1,2,\cdots ,t$.
• 特别地, 如果 $m=1$, 那么矩阵 (1.1) 为 $1\times n$ 矩阵, 可以看成一个 行向量, 即

$$\mathbf{A}=\left(a_{11},a_{12},\cdots ,a_{1n}\right).$$

• 当 $n=1$ 时, 矩阵 (1.1) 为 $m\times 1$ 矩阵, 可以看成一个 列向量, 即

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{m1}\end{array}\right)$$

• 当 $m=n$ 时，我们称矩阵（1.1）为 $n\times n$ 矩阵或 $n$ 阶方阵。
  • 称 $a_{ii}(i=$ $1,2,\cdots ,n)$ 为方阵的主对角线元素，
  • 所有主对角线元素的和称为方阵的 迹 (trace), 记作

$$\mathrm{tr}(\mathbf{A})=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$$

- 当 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $a_{i j}=0(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n)$ 时
	- 即除主对角线元素之外的元素都是零，
	- 我们称其为 **$n$ 阶对角矩阵**，记作

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{llll}{a}_{11}& & & \\ & a_{22}& & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn}\end{array}\right)$$

	- 可以将其简记为

$$\mathbf{A}=\mathrm{diag}\left(a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn}\right)$$

• 进一步地, 当对角矩阵中的对角线元素 $a_{ii}=1(i=1,2,\cdots ,n)$ 时,
  • 称它为 单位矩阵，
  • 记作 ${\mathbf{E}}_n$ 或者 $\mathbf{E}$ ；
• 当 $m=n=1$ 时，矩阵 $\left(a_{11}\right)$ 就是 $\mathbb{C}$ 中的一个数，即 $\left(a_{11}\right)=a_{11}$ ；
• 当矩阵所有的元素都是 0 时， 我们
  • 称它为 零矩阵，
  • 仍记为 0 。

定义 1.3.

设 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{mn}$, 称 $-\mathbf{A}={\left(-a_{ij}\right)}_{mn}$ 是 $\mathbf{A}$ 的负矩阵, 其中 $-\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}-a_{11}& -a_{12}& \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21}& -a_{22}& \cdots & -a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ -a_{m1}& -a_{m2}& \cdots & -a_{mn}\end{array}\right)$