例题 2.3.1

把

$$A=\left(\begin{array}{rrrrr}1& 0& 4& -2& 1\\ 2& -1& 9& -5& 2\\ 1& -1& 5& 0& -1\\ 2& 3& 5& 5& -2\end{array}\right)$$

化成阶梯形矩阵。

\begin{proof}

• 把 $\mathbf{A}$ 的第1行的
  • -2 倍加到第 2 行、
  • -1 倍加到第 3 行、
  • -2 倍加到第 4 行,
• 得

$$A⟶\left(\begin{array}{rrrrr}1& 0& 4& -2& 1\\ 0& -1& 1& -1& 0\\ 0& -1& 1& 2& -2\\ 0& 3& -3& 9& -4\end{array}\right)=A_1$$

• 然后把 ${\mathbf{A}}_1$ 的第 2 行的
  • -1 倍加到第 3 行、
  • 3 倍加到第 4 行,
• 得

$$\begin{array}{rl}{A}_1& ⟶\left(\begin{array}{rrrrr}1& 0& 4& -2& 1\\ 0& -1& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 3& -2\\ 0& 0& 0& 6& -4\end{array}\right)\\ & ⟶\left(\begin{array}{rrrrr}1& 0& 4& -2& 1\\ 0& -1& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 3& -2\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

• 最后一步是把第 3 行的 -2 倍加到第 4 行.
• 这就得到了阶梯形矩阵. \end{proof}