例题 4.4 方程组解的唯一性

例题 4.4.

设关于 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的 $n$ 元线性方程组为

$$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$

记

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$

当 $A$ 可逆时，证明线性方程组有唯一解。

\begin{proof} 记 $\mathbf{X}={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\mathrm{T}},\mathbf{b}={\left(b_1,b_2,\cdots ,b_n\right)}^{\mathrm{T}}$ , 那么方程组就可以写成 $A\mathbf{X}=b$ 的形式。

1. 存在性
   • 当 $A$ 可逆时， $A^{-1}$ 存在。
   • 将 $X=A^{-1}b$ 代人原方程组,
   • 得恒等式 $A\left(A^{-1}b\right)=b$ ,
   • 可知 $A^{-1}b$ 是方程组的一个解。
2. 唯一性
   • 假设 $\mathbf{X}={\mathbf{X}}_0$ 是方程组的另一个解，
     • 那么 $\mathbf{A}{\mathbf{X}}_0=b$ ，
   • 而 $\mathbf{A}$ 可逆，那么两边左乘 $A^{-1}$ 得，
   • ${\mathbf{A}}^{-1}\left(\mathbf{A}{\mathbf{X}}_0\right)=A^{-1}b$ ，
     • 即 ${\mathbf{X}}_0={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}$ 。

• 综上所述，原方程组存在唯一的解 $\mathbf{X}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}$ 。 \end{proof}