例题 4.5 分块矩阵的逆

例题 4.5.

设
$A = (A_{1} B_{1} 0 C_{1})$
其中 $A_{1}$ 为 $r \times r$ 可逆矩阵， $C_{1}$ 为 $t \times t$ 可逆矩阵，求 $A$ 的逆。

解由于 $∣ A ∣ = ∣ A_{1} ∣ ∣ C_{1} ∣$ , 而 $A_{1}$ 和 $C_{1}$ 可逆, 故 $A$ 可逆. 设 $A$ 的逆 $A^{- 1}$ 有分块形式, 即

A^{- 1} = (X Z Y T)

其中 $X$ 为 $r \times r$ 矩阵， $Y$ 为 $r \times t$ 矩阵， $Z$ 为 $t \times r$ 矩阵， $T$ 为 $t \times t$ 矩阵。此时 $A, A^{- 1}$ 的分块形式可作分块乘法. 设

A A^{- 1} = (A_{1} B_{1} 0 C_{1}) (X Z Y T) = (A_{1} X B_{1} X + C_{1} Z A_{1} Y B_{1} Y + C_{1} T) = (E_{r} 0 0 E_{t}) .

那么有矩阵等式

⎩ ⎨ ⎧ A_{1} X A_{1} Y B_{1} X + C_{1} Z B_{1} Y + C_{1} T = E_{r}, = 0 = 0 = E_{t}

因为 $A_{1}$ 可逆, 即有 $X = A_{1}^{- 1}, Y = 0$ 。由矩阵等式第 3 式知

C_{1} Z = - B_{1} X = - B_{1} A_{1}^{- 1}

所以 $Z = - C_{1}^{- 1} B_{1} A_{1}^{- 1}$ 。由 $Y = 0$ , 矩阵等式第 4 式成为 $C_{1} T = E_{t}$ ，即 $T = C_{1}^{- 1}$ 。于是

A^{- 1} = (A_{1}^{- 1} - C_{1}^{- 1} B_{1} A_{1}^{- 1} 0 C_{1}^{- 1})

Youliang Zhong