初等矩阵的逆

经过简单的计算可以发现以下性质:

1. $\mathbf{P}(i,j{)}^{-1}=\mathbf{P}(i,j)$;
2. $\mathbf{P}(i(k){)}^{-1}=\mathbf{P}\left(i\left(k^{-1}\right)\right)$;
3. $\mathbf{P}(i,j(k){)}^{-1}=\mathbf{P}(i,j(-k))$.

由此可见，任何初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵. 初等矩阵在矩阵中的作用很大，矩阵之间的很多关系都用初等矩阵来解释。