2.5 初等矩阵

在本章的第三节中, 我们介绍了矩阵的初等变换; 在本节中, 我们将初等变换和矩阵联系起来，介绍初等变换的矩阵表现形式，以及利用它来求可逆矩阵的逆矩阵. 对应于给出的三种初等变换, 我们给出三种初等矩阵.

• 定义 5.1 第 I 种类型的初等矩阵
• 定义 5.2 第 II 种类型的初等矩阵
• 定义 5.3 第 III 种类型的初等矩阵 观察可得
• 初等矩阵 vs 初等变换
• 初等矩阵的逆

在 2.3 矩阵的秩 里, 我们已经给出了矩阵等价的定义: 如果两个矩阵可以经过一系列的初等变换相互转换, 那么就称这两个矩阵等价. 由于任何一个矩阵经过初等变换都可以化成阶梯形矩阵，故任何一个矩阵都与一个阶梯形矩阵等价：更进一步讲, 对于任意一个 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$, 若 $r(\mathbf{A})=r$, 那么 $\mathbf{A}$ 等价于其标准形

$$\left(\begin{array}{cc}{E}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

有了初等矩阵及上面的讨论，定理3.2可以改写为定理5.2.

• 定理 5.2 初等变换为等价标准型
• 推论 5.1 逆矩阵的初等“分解”
• 相同的方法可以证明下面的 推论 5.2 (推论 5.1 的右逆版本)
• 推论 5.3 秩为转置不变量

初等变换求逆矩阵