定义 5.1 第 I 种类型的初等矩阵

定义 5.1 第 I 种类型的初等矩阵

$n$ 阶单位矩阵 $\mathbf{E}$ 的第 $i$ 行、第 $j$ 行互换 $(i<j)$, 得到的矩阵

$$\left(\begin{array}{lllllllllll}1& & & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & & & \\ & & 1& & & & & & & & \\ & & & 0& & \dots & & 1& & & \\ & & & & 1& & & & & & \\ & & & ⋮& & \ddots & & ⋮& & & \\ & & & & & & 1& & & & \\ & & & 1& & \dots & & 0& & & \\ & & & & & & & & 1& & \\ & & & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & & & 1\end{array}\right)$$

称为 第 I 种类型 的初等矩阵, 记为 $\mathbf{P}(i,j)$.

矩阵 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{mn}$ 左乘 $m$ 阶的 $\mathbf{P}(i,j)$ 得到

$$\mathbf{P}(i,j)\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{j1}& a_{j2}& \cdots & a_{jn}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

因此，对矩阵 $\mathbf{A}$ 作第I种初等行变换（即交换矩阵的第 $i$ 行、第 $j$ 行）相当于矩阵 $\mathbf{A}$ 左乘 $\mathbf{P}(i,j)$.

同样，交换矩阵 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 列、第 $j$ 列相当于将矩阵 $\mathbf{A}$ 右乘 $n$ 阶的 $\mathbf{P}(i,j)$.