定义 5.3 第 III 种类型的初等矩阵

定义 5.3 第 III 种类型的初等矩阵

$n$ 阶单位矩阵 $E$ 的第 $j$ 行乘一个非零数 $k$, 再加到第 $i$ 行, 得到的矩阵

$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{lllllll}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1& \cdots & k& & \\ & & & \ddots & ⋮& & \\ & & & & 1& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right)\end{array}$$

称为 第 III 种类型 的初等矩阵, 记为 $\mathbf{P}(i,j(k))$.

同样可以证明,

• 矩阵 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{mn}$ 左乘 $m$ 阶的 $\mathbf{P}(i,j(k))$ 相当于将矩阵 $\mathbf{A}$的第 $j$ 行乘一个 $k$ 后，再加到第 $i$ 行；
• 右乘 $n$ 阶的 $\mathbf{P}(i,j(k))$ 相当于将矩阵 $\mathbf{A}$的第 $i$ 列乘一个数 $k$ 后，再加到第 $j$ 列。