定理 3.3 秩为初等变换不变量

定理 3.3.

初等变换不改变矩阵的秩.

\begin{proof}

• 矩阵的初等变换有三种，这里只考虑上述的第三种情况，其余作为习题.
• 即将某一行 (列) 的 $c$ 倍加到另一行 (列)，
• 由于行变换和列变换的证明思路一样, 所以不妨假设 $m\times n$ 矩阵 $A$ 按列分块后为

$$\mathbf{A}=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_i,\cdots ,{\alpha }_j,\cdots ,{\alpha }_n\right)$$

• 其中 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_i,\cdots ,{\alpha }_j,\cdots ,{\alpha }_n$ 是矩阵的列，经过初等列变换后变为

$$\mathbf{B}=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_i+c{\alpha }_j,\cdots ,{\alpha }_j,\cdots ,{\alpha }_n\right)$$

• 即将矩阵的第 $j$ 列的 $c$ 倍加到第 $i$ 列。
• 设 $r(\mathbf{A})=r$ ，现取矩阵 $B$ 的任意一个 $k(k>r)$ 阶子式 $D$ ，记 ${\beta }_i,{\beta }_j$ 是 $D$ 中分别对应于 ${\alpha }_i,{\alpha }_j$ 的列，则 $D$ 有三种情形。

1. $D$ 中不含 $B$ 的第 $i$ 列，这时 $D$ 就是 $A$ 的子式，那么 $D=0$ 。
2. $D$ 中含 $B$ 的第 $i$ 列，但不含 $B$ 的第 $j$ 列，这时

$$D=\det \left(\cdots ,{\beta }_i+c{\beta }_j,\cdots \right)=\det \left(\cdots ,{\beta }_i,\cdots \right)+\det \left(\cdots ,c{\beta }_j,\cdots \right)=0$$

这是因为这两个式子都是 $A$ 的 $k$ 阶子式。 3. $D$ 中同时含 $\mathbf{B}$ 的第 $i$ 列和第 $j$ 列, 这时

$$\begin{array}{rl}D& =\det \left(\cdots ,{\beta }_i+c{\beta }_j,\cdots ,{\beta }_j,\cdots \right)\\ & =\det \left(\cdots ,{\beta }_i,\cdots ,{\beta }_j,\cdots \right)+\det \left(\cdots ,c{\beta }_j,\cdots ,{\beta }_j,\cdots \right)\\ & =0\end{array}$$

• 这是因为

  • 第一个式子就是 $\mathbf{A}$ 的 $k$ 阶子式，
  • 第二个式子中有两列成比例。

• 那么， $\mathbf{B}$中高于 $r$ 阶的子式都为零，所以 $r(\mathbf{B})⩽r=r(\mathbf{A})$ 。

• 同理可得 $r(\mathbf{A})⩽r(\mathbf{B})$ （因为将矩阵 $\mathbf{B}$ 第 $j$ 列的 $-c$ 倍加到它的第 $i$ 列就变成了矩阵 $\mathbf{A}$ )。

• 所以， $r(\mathbf{B})=r(\mathbf{A})$ ，

  • 即矩阵经过上述的第 III 种初等变换后秩不变。 \end{proof}