4.1 消元法

线性方程组的矩阵表示

在中学学过用加减消元法和代入消元法解二元和三元线性方程组. 这个方法比用行列式 (克拉默法则) 来解线性方程组更有一般的意义. 下面介绍如何用消元法解一般的线性方程组.

例题 1.1

分析上述消元法解方程组的过程, 易知解线性方程组实际上是反复对方程组进行变换, 这里主要进行了下面三种变换:

互换两个方程的位置;
用一非零数乘某一个方程;
把一个方程的倍数加到另一个方程. 上述三种变换称为 线性方程组的初等变换.

消元法解方程组的过程实际上是反复对方程组进行初等变换的过程, 用初等变换解线性方程组的理论根据是下面的事实.

性质 1.1 解集在初等变换下不变

因为线性方程组和它的增广矩阵一一对应, 而线性方程组的初等变换对应着增广矩阵的初等行变换.

互换两个方程的位置,相当于对 $A$ 对应的两行交换位置.
用一非零数乘某个方程,相当于用这个数乘 $A$ 对应的行.
把一个方程的倍数加到另一个方程,相当于用这个倍数乘 $A$ 的一行再加到另一行. 根据性质 1.1 解集在初等变换下不变, 线性方程组的初等变换将方程组变成同解的方程组, 因此增广矩阵的初等行变换将增广矩阵对应的方程组变成同解的方程组, 即得到下面的定理.

定理1.1 初等等价=同解等价

因此, 对于解线性方程组, 我们可以利用对增广矩阵进行初等行变换化成阶梯形矩阵来达到解方程的目的.

例题 1.2

例题 1.3

下面讨论一般的情形. 设

A = (A, b) = a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} b_{1} b_{2} ⋮ b_{m}

为方程组 (1.1) 的增广矩阵.

由定理 3.1 总等价于阶梯形矩阵知, 每个矩阵都可经初等行变换化成阶梯形矩阵, 故可设原方程组 (1.1) 的增广矩阵 $A$ 化成阶梯形矩阵 $B$ . $A$ 的前 $n$ 列组成原方程组的系数矩阵 $A$ . 容易看出 $B$ 的前 $n$ 列组成的矩阵 $B$ 可由 $A$ 经同样的初等行变换得到, 而且 $B$ 也是阶梯形矩阵. 又设 $B$ 的最后一列为 $b^{'}$ ,即

A = (A, b) \to B = (B, b^{'})

设

B = 00 ⋮ 00 ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 00 ⋮ 0 a_{1 j_{1}}^{'} 0 ⋮ 00 ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots \dots \dots 0 ⋮ 00 ⋮ 0 \dots a_{2 j_{2}}^{'} ⋮ 00 ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 0 \dots \dots \dots a_{r j_{r}}^{'} 0 ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots \dots \dots a_{1 n}^{'} a_{2 n}^{'} ⋮ a_{r n}^{'} 0 ⋮ 0_{N},

其中

$a_{1 j_{1}}^{'}, a_{2 j_{2}}^{'}, \dots, a_{r j_{r}}^{'}$ 均不为 $0$ ,
$j_{1} < j_{2} < \dots < j_{r}$ .

$B = (B, b^{'})$ 为阶梯形矩阵, 故它可能有 $r$ 个或 $r + 1$ 个非零行. 于是 $B$ 可写成

00 ⋮ 000 ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 000 ⋮ 0 a_{1 j_{1}}^{'} 0 ⋮ 000 ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots 0 ⋮ 000 ⋮ 0 \dots a_{2 j_{2}}^{'} ⋮ 000 ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots \dots ⋮ \dots \dots \dots \dots 000 ⋮ 0 \dots \dots \dots a_{r j_{r}}^{'} 000 \dots \dots \dots \dots \dots \dots ⋮ \dots a_{1 n}^{'} a_{2 n}^{'} ⋮ a_{r n}^{'} 00 ⋮ 0 b_{1}^{'} b_{2}^{'} ⋮ b_{r}^{'} b_{r + 1}^{'} 0 ⋮ 0,

其中 $b_{r + 1}^{'} = 0$ 或 $b_{r + 1}^{'} \neq = 0$ 分别对应 $B$ 有 $r$ 个非零行和 $B$ 有 $r + 1$ 个非零行的情况.

把 $B$ 所对应的新方程组中最后 $n - r - 1$ 个形如 ” $0 = 0$ ” 的方程去掉, 得到下面与原方程组同解的阶梯形方程组

⎩ ⎨ ⎧ a_{1 j_{1}}^{'} x_{j_{1}} + \dots + a_{1 j_{2}}^{'} x_{j_{2}} + \dots + a_{1 j_{r}}^{'} x_{j_{r}} + \dots + a_{1 n}^{'} x_{n} a_{2 j_{2}}^{'} x_{j_{2}} + \dots + a_{2 j_{r}}^{'} x_{j_{r}} + \dots + a_{2 n}^{'} x_{n} \dots\dots\dots\dots a_{r j_{r}}^{'} x_{j_{r}} + \dots + a_{r n}^{'} x_{n} 0 = b_{1}^{'}, = b_{2}^{'}, = b_{r}^{'}, = b_{r + 1}^{'} . (1.3)

这里,

第 1 个方程中不出现包含 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{j_{1} - 1}$ 的项;
第 2 个方程中不出现包含 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{j_{2} - 1}$ 的项;
$\dots$ ;
第 $r$ 个方程中不出现包含 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{j_{r} - 1}$ 的项.
通过 (1.3) 可知原方程组解的情况.

解的存在性

当 $b_{r + 1}^{'} \neq = 0$ 时, 方程组 ^eq-1-3 无解. 因为无论怎样的 $(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})$ 代入最后一个方程均使左端成为零, 而右端非零, 方程组不相容.
考虑 $b_{r + 1}^{'} = 0$ 的情况. 此时, ^eq-1-3 的最后一个方程变成 $0 = 0$ , 于是原方程组与 ^eq-1-3 的前 $r$ 个方程组成的方程组同解.

解的个数

如果 $r = n$ , 则 (1.3) 中方程个数和未知数个数都是 $n$ , 而且系数行列式为 $a_{11}^{'} a_{22}^{'} \dots a_{nn}^{'} \neq = 0$ , 由克拉默法则知 (1.3) 有唯一解.
现在设 $r < n$ . 为便于说明, 我们仅考虑 $j_{1} = 1, j_{2} = 2, \dots, j_{r} = r$ 的特殊情况. 此时, 把包含 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{r}$ 的项留在左端, 而把其余的项移到右端,方程组 (1.3) 变成

⎩ ⎨ ⎧ a_{11}^{'} x_{1} + a_{12}^{'} x_{2} + \dots + a_{1 r}^{'} x_{r} a_{22}^{'} x_{2} + \dots + a_{2 r}^{'} x_{r} ⋮ a_{rr}^{'} x_{r} = b_{1}^{'} - a_{1 r + 1}^{'} x_{r + 1} - \dots - a_{1 n}^{'} x_{n} = b_{2}^{'} - a_{2 r + 1}^{'} x_{r + 1} - \dots - a_{2 n}^{'} x_{n} = b_{r}^{'} - a_{r + 1}^{'} x_{r + 1} - \dots - a_{r n}^{'} x_{n} (1.3’)

此时, ^eq-1-3-prime 的各方程左端依次出现 $r$ 个, $r - 1$ 个, $\dots, 1$ 个未知数. $x_{r + 1}, \dots, x_{n}$ 称为 自由未知量. 每当给自由未知量赋一个值 $(t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n - r})$ 时, 由 ^eq-1-3-prime 就可依次解出 $x_{r}, x_{r - 1}, \dots, x_{1}$ 的值 $s_{r}, s_{r - 1}, \dots, s_{1}$ . 此时, $(s_{1}, \dots, s_{r}, t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n - r})$ 显然满足 ^eq-1-3, 进而满足 (1.1). 这证明了无论 $r = n$ , 还是 $r < n$ , 当 $b_{r + 1}^{'} = 0$ 时方程组 (1.1) 有解.

另一方面,注意 ^eq-1-3-prime 左端的系数行列式不为零, 所以一旦自由未知量的值被指定, $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{r}$ 相应的值也随之唯一确定 (克拉默法则). 于是, (1.1) 的任何一个解都可通过对自由未知量适当赋值得到.

综上所述, 方程组 (1.1) 有解当且仅当 $b_{r + 1}^{'} = 0$ .

$b_{r + 1}^{'}$ 是否为零由方程组 (1.1) 唯一确定. 实际上, 阶梯形矩阵 $B$ 中包含 $r$ 个非零行, 所以 $B$ 的秩为 $r$ . $B$ 的秩则依 $b_{r + 1}^{'}$ 的取值不同而不同.

当 $b_{r + 1}^{'} \neq = 0$ 时, $B$ 包含 $r + 1$ 个非零行,它的秩为 $r + 1$ ;
当 $b_{r + 1}^{'} = 0$ 时, $B$ 的秩为 $r$ .

根据定理 3.3 秩为初等变换不变量, 矩阵 $B$ 与方程组 (1.1) 的系数矩阵的秩相同, $B$ 与方程组 (1.1) 的增广矩阵 $A$ 的秩相同, 所以, $b_{r + 1}^{'} = 0$ 当且仅当方程组 (1.1) 的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同. 这样, 我们就得到下面的定理.

定理 1.2 秩判别解的存在性

由此得到下面的定理.

定理 1.3 秩分类解的个数

对于齐次线性方程组, 它总有解, 即零解. 将定理 1.3 应用到齐次线性方程组, 就有定理 1.4 秩判别齐次方程组的非零解存在性.

特别地,

若齐次线性方程组中方程的个数小于未知数个数, 则它一定有非零解;
若齐次线性方程组中方程的个数等于未知数的个数, 则它有非零解当且仅当其系数行列式等于零.

分别写成如下推论.

Question

对齐次线性方程组 (1.4),当 $m > n$ 时,解的情况如何?

求解一般线性方程组的步骤
现在我们给出求解一般线性方程组 $A x = b$ 的步骤:

写出增广矩阵 $A = (A, b)$ ;

将 $A$ 通过初等变换化为阶梯形矩阵,从而也求出了系数矩阵和增广矩阵的秩, 于是可以判断方程组是否有解;

有解时,设 $r (A) = r$ ,选好 $n - r$ 个自由未知量,将含自由未知量的项移到右边,得到形如 $(1.3)^{'}$ 的方程组;

令自由未知量取值为 $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n - r}$ ,解方程组 $(1.3)^{'}$ ,把其余未知数的值用 $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n - r}$ 表示出来.

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例题 1.4

例题 1.5

Youliang Zhong

4.1 消元法

求解一般线性方程组的步骤

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