定理 4.1 矩阵可逆的等价条件

定理 4.1.

$n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 可逆当且仅当

• 其行列式 $|\mathbf{A}|$ 不等于零。

\begin{proof}

1. 必要性
   • 假设 $\mathbf{AB}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$ ，
   • 对它取行列式得 $|\mathbf{A}\Vert \mathbf{B}|=1$,
   • 于是 $|\mathbf{A}|\ne 0$ 。
2. 充分性
   • 假设 $|\mathbf{A}|=d\ne 0$, 那么由上述关系有
   • $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }={\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}=d\mathbf{E},$
   • 从而有
   • $\mathbf{A}\left(\frac{1}{d}{\mathbf{A}}^{\ast }\right)=\left(\frac{1}{d}{\mathbf{A}}^{\ast }\right)\mathbf{A}=\mathbf{E}$
   • 由矩阵可逆的定义知， ${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{d}{\mathbf{A}}^{\ast }$ ，
     • 即矩阵 $\mathbf{A}$ 可逆。 \end{proof}

• 由于行列式不为零等价于矩阵满秩，
• 故上述定理也可以叙述为：
  • 矩阵可逆当且仅当 矩阵满秩。