推论 5.1 逆矩阵的初等“分解”

推论 5.1

若矩阵 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 那么存在 $n$ 阶初等矩阵 ${\mathbf{P}}_1,{\mathbf{P}}_2,\cdots$, $P_m$, 使得

$$P_m{P}_{m-1}\cdots P_2{P}_{1}A=E$$

从而有 ${\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{P}}_m{\mathbf{P}}_{m-1}\cdots {\mathbf{P}}_2{\mathbf{P}}_1$.

\begin{proof} 由上面定理知存在初等矩阵 $P_1,P_2,\cdots ,P_s$ 和 $Q_1,Q_2,\cdots ,Q_t$, 使得

$$P_s{P}_{s-1}\cdots P_2{P}_{1}A{Q}_1{Q}_2\cdots Q_t=E$$

那么等式两边同时左乘 $Q_1{Q}_2\cdots Q_t$ ，右乘 $Q_t^{-1}{Q}_{t-1}^{-1}\cdots Q_1^{-1}$ 得到

$$Q_1{Q}_2\cdots Q_t{P}_s\cdots P_2{P}_{1}A=E$$

故结论成立. \end{proof}