矩阵的逆的性质

矩阵的逆的性质

矩阵的逆有以下性质:

1. 若矩阵 $\mathbf{A}$ 可逆, 则其逆矩阵唯一确定.
2. $\mathbf{A}$ 可逆时, $A^{-1}$ 也可逆, 且 ${\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A$.
3. $A,B$ 可逆时, $AB$ 也可逆, 且 $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$.
4. $\mathbf{A}$ 可逆时，其转冝 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 也可逆，并且 ${\left({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}={\left({\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}$ 。

\begin{proof} (1) 若 $\mathbf{B},\mathbf{C}$ 都是 $\mathbf{A}$ 的逆, 则有等式

$$AB=BA=E,AC=CA=E$$

这样一来 $\mathbf{B}=\mathbf{BE}=\mathbf{B}(\mathbf{AC})=(\mathbf{B}\mathbf{A})\mathbf{C}=\mathbf{E}\mathbf{C}=\mathbf{C}$. 这也是定义 4.1 中把 $\mathbf{A}$ 的 (唯一的) 逆矩阵记作 $A^{-1}$ 的原因所在.

(2) 若矩阵 $A$ 可逆, 则存在矩阵 $B$ 使得 $AB=BA=E$ ，那么按照定义 $A^{-1}=B$ 也可逆, 且它的逆矩阵就是 $\mathbf{A}$, 即 ${\left(A^{-1}\right)}^{-1}=\mathbf{A}$.

(3) 若 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 可逆, 则

$$(AB)\left(B^{-1}{A}^{-1}\right)=A\left(B{B}^{-1}\right)A^{-1}=A{A}^{-1}=E$$

同理, $\left(B^{-1}{A}^{-1}\right)(AB)=E$, 故由定义知 $AB$ 也可逆, 且 $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$.

(4) 若矩阵 $\mathbf{A}$ 可逆, 则

$$\mathbf{A}{A}^{-1}=A^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{E}$$

两边同时求转置得

$${\left({\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\left({\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}=\mathbf{E},$$

由定义知 ${\left({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}={\left({\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}$ 。 可以用数学归纳法证明: 如果 ${\mathbf{A}}_1,{\mathbf{A}}_2,\cdots ,{\mathbf{A}}_s$ 是同阶的可逆矩阵，那么

$${\left(A_1{A}_2\cdots A_s\right)}^{-1}=A_s^{-1}\cdots A_2^{-1}{A}_1^{-1}$$

\end{proof}