2.4 矩阵的逆

• 定义了矩阵的相关运算后，我们很容易就联想到由所有矩阵构成的集合和数域的相似之处。
• 我们知道，对于数域 $F$ 中任一个非零的数 $a$ ，均有一个数 $a^{-1}\in F$ ，满足

$$a{a}^{-1}=a^{-1}a=1$$

• 这里， $a^{-1}$ 是 $a$ 的倒数，称为 $a$ 的 逆。
• 那么，矩阵是否和数域中的数一样存在逆呢？

这一节将介绍矩阵的逆矩阵的定义、性质和求法。

定义 4.1. 矩阵的逆

设 $\mathbf{A}$ 是一个 $n$ 阶方阵, 如果存在矩阵 $B$, 使得

$$AB=BA=E$$

则称 $\mathbf{A}$ 存在逆矩阵 $\mathbf{B}$，将 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵记作 $A^{-1}$.

$A,B$ 称为 互逆矩阵。

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Remark

逆矩阵只对方阵而言，没有定义非方阵的矩阵的逆。

例题 4.1

矩阵的逆的性质

矩阵的逆和复数域中的倒数有点相似. 在复数域中, 0 没有倒数. 那么, 在所有的方阵中，是否存在没有逆矩阵的方阵？ 更进一步讲，如果矩阵存在逆，怎么求逆呢?

例题 4.2 求矩阵的逆

伴随矩阵求矩阵的逆