例题 3.3

Question

求过点 $P\left(1,1,-1\right)$ 且与平面

$$\pi :3x+y+2z=1$$

平行的平面方程.

解法一：待定系数

因为所求的平面与 $\pi$ 平行, 其方程可设为

$$3x+y+2z+D=0.$$

将点 $P$ 的坐标代入该方程,得 $D=-2$ . 于是,所求的平面方程为

$$3x+y+2z-2=0.$$

解法二：点法式

由所求的平面与 $\pi$ 平行可知,它的法向量可取为 $\pi$ 的法向量 $\mathbf{n}=$ $\left(3,1,2\right)$ . 于是,所求的平面方程为

$$3\left(x-1\right)+\left(y-1\right)+2\left(z+1\right)=0,$$

即 $3x+y+2z-2=0$ .