3.3.5. 两平面间的关系和平面束

两个平面之间有 重合、平行 和 相交 这三种关系.

下面通过简要分析给出其判别方法.

设有两个平面

$${\pi }_1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,$$ $${\pi }_2:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0.$$

它们的法向量分别为 ${\mathbf{n}}_1=\left(A_1,B_1,C_1\right)$ 和 ${\mathbf{n}}_2=\left(A_2,B_2,C_2\right)$ .

若 ${\mathbf{n}}_1//{\mathbf{n}}_2$ ,

• 则 ${\pi }_1$ 与 ${\pi }_2$ 或者重合,或者平行,二者必具其一.
  • 否则, ${\pi }_1$ 与 ${\pi }_2$ 相交.
• 则存在数 $\lambda \ne 0$ , 使得 ${\mathbf{n}}_1=\lambda {\mathbf{n}}_2$ .
  • 于是 ${\pi }_1$ 的方程可化为

$$\lambda \left(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z\right)+D_1=0.$$

• 若 ${\pi }_1$ 与 ${\pi }_2$ 重合,
  • 则由 ${\pi }_2$ 的任意一点 $P\left(x,y,z\right)$ 都在 ${\pi }_1$ 上,
  • 易知 $D_1-\lambda D_2=0$ , 即 $D_1=\lambda D_2.$

综上我们有下面的结论:

1. 平面 ${\pi }_1$ 与 ${\pi }_2$ 重合 $\iff$ $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}$ ;
2. 平面 ${\pi }_1$ 与 ${\pi }_2$ 平行 $\iff$ $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne \frac{D_1}{D_2}$ ;
3. 平面 ${\pi }_1$ 与 ${\pi }_2$ 相交 $\iff$ $A_1:B_1:C_1\ne A_2:B_2:C_2$ .

例题 3.3

当两个平面 ${\pi }_1$ 与 ${\pi }_2$ 相交时,它们显然交于一条直线,记为 $l$ . 由于交线上任一点的坐标都同时满足 ${\pi }_1$ 和 ${\pi }_2$ 的方程,所以平面 ${\pi }_1$ 与 ${\pi }_2$ 的交线 $l$ 由方程组

$$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

所确定,而 ${\pi }_1$ 和 ${\pi }_2$ 是过这条直线 $l$ 的两个平面.

显然, 过一条直线的平面有无穷多个. 经过同一条直线的所有平面的集合叫做 同轴平面束.

设 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 是两个不同时为零的实参数,建立含有 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 的三元一次方程

$$\begin{array}{rl}& {\lambda }_1\left(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1\right)\\ & +{\lambda }_2\left(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2\right)=0,\end{array}\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

显然,当 ${\lambda }_1\ne 0$ 且 ${\lambda }_2=0$ 时,它是平面 ${\pi }_1$ ; 当 ${\lambda }_1=0$ 且 ${\lambda }_2\ne 0$ 时,它是平面 ${\pi }_2$ .

直线 $l$ 上任意一点的坐标都满足平面 ${\pi }_1$ 和 ${\pi }_2$ 的方程,当然也满足方程 (3.4). 因此,方程 (3.4) 表示的平面通过直线 $l$ , 再由 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 的任意性知, 方程 (3.4) 是以直线 $l$ 为轴的 平面束方程.

用平面束方程处理某些问题有时比较方便.

例题 3.4