3.1.3. 空间直角坐标系

在平面解析几何中, 通过建立平面直角坐标系, 将平面上的点与有序实数对一一对应, 就能用代数的方法研究平面图形的性质. 为了研究空间图形的性质, 我们将上述思想推广, 先建立空间直角坐标系.

在空间内选定一点 $O$ 作为原点,过 $O$ 点作三个两两垂直的数轴. 这三个数轴统称为 坐标轴, 分别用 $x$ 轴, $y$ 轴和 $z$ 轴表示. 由原点 $O$ 和这三个坐标轴组成的系统称为空间 直角坐标系. 由每两根坐标轴决定的平面称为 坐标平面, 分别为 $xOy,xOz$ 和 $yOz$ 平面. 坐标平面把空间分成八个部分,称为八个 卦限.

将右手四指 (拇指除外) 从 $x$ 轴方向以小于 $\pi$ 的角度弯向 $y$ 轴方向, 如果拇指所指的方向为 $z$ 轴的正向,则称此坐标系为右手系. 将左手四指 (拇指除外) 从 $x$ 轴方向以小于 $\pi$ 的角度弯向 $y$ 轴方向, 如果拇指所指的方向为 $z$ 轴的正向, 则称此坐标系为左手系 (如图 3.3 所示). 我们通常所用的坐标系都是右手直角坐标系,记之为 $Oxyz$ 坐标系.

图 3.3

在 $Oxyz$ 坐标系中,分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴同向的单位向量叫做这个坐标系的 基本向量, 分别用 $i,j$ 和 $k$ 表示.

图 3.4

设 $p$ 为空间中任意一个给定的向量,将其始点平移到坐标原点 $O$ ,设终点为 $P$ ,即 $\overrightarrow{OP}=\mathbf{p}$ .

如图 3.4 所示,过 $P$ 点作三个平面分别垂直于 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴,它们与三个坐标轴的交点分别为 $A,B$ 和 $C$ .

设向量 $\overrightarrow{OP}$ 在三个坐标轴上的投影分别为 $p_x,p_y$ 和 $p_z$ ,则易知

$$\overrightarrow{OA}=p_x\mathbf{i},\overrightarrow{OB}=p_y\mathbf{j},\overrightarrow{OC}=p_z\mathbf{k}.$$

由于 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP},$ $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OB}$ $\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{OC}$ 所以

$$\mathbf{p}=p_x\mathbf{i}+p_y\mathbf{j}+p_z\mathbf{k}$$

上式称为向量 $\mathbf{p}$ 的 分解式.

由此易知, 在 $Oxyz$ 坐标系中, 由一个给定的向量 $\mathbf{p}$ 可以唯一地确定它在三个坐标轴上的投影 $p_x,p_y$ 和 $p_z$ ; 反之,由给定的三个有序实数 $p_x,p_y$ 和 $p_z$ 也可以唯一地确定一个向量 $\mathbf{p}$ . 因此, $Oxyz$ 坐标系中的向量与有序三元数组一一对应.

向量 $\mathbf{p}$ 在三个坐标轴上的投影 $p_x,p_y$ 和 $p_z$ 叫做向量 $\mathbf{p}$ 的坐标. $\mathbf{p}=$ $\left(p_x,p_y,p_z\right)$ 称为向量 $\mathbf{p}$ 的 坐标表示 或 代数表示.

对于空间中的任意一点 $P$ ,向量 $\overrightarrow{OP}$ 的坐标 $p_x,p_y$ 和 $p_z$ 分别称为点 $P$ 的 横坐标、纵坐标和竖坐标, 统称为点 $P$ 的坐标, 并把点 $P$ 用 $P\left(p_x,p_y,p_z\right)$ 表示.

对于起点为 $P\left(p_x,p_y,p_z\right)$ ,终点为 $Q\left(q_x,q_y,q_z\right)$ 的向量 $\overrightarrow{PQ}$ ,由于

$$\overrightarrow{OP}=p_x\mathbf{i}+p_y\mathbf{j}+p_z\mathbf{k},\overrightarrow{OQ}=q_x\mathbf{i}+q_y\mathbf{j}+q_z\mathbf{k},$$

所以有

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{PQ}& =\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\\ & =\left(q_x-p_x\right)\mathbf{i}+\left(q_y-p_y\right)\mathbf{j}+\left(q_z-p_z\right)\mathbf{k}.\end{array}$$

由此可知, 空间中任意一个向量的坐标等于其终点坐标与起点坐标之差.

有了向量的分解式, 就可以用向量的坐标表示向量的长度.

设非零向量 $\overrightarrow{OP}=\mathbf{p}=p_x\mathbf{i}+p_y\mathbf{j}+p_z\mathbf{k}$ ,利用勾股定理易得 $\mathbf{p}$ 的长度为

$$\left|\mathbf{p}\right|=\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}$$

把两点 $P\left(p_x,p_y,p_z\right)$ 和 $Q\left(q_x,q_y,q_z\right)$ 的距离记作 $d\left(P,Q\right)$ , 显然 $d\left(P,Q\right)$ 就是向量 $\overrightarrow{PQ}$ 的长度, 即

$$\begin{array}{rl}d(P,Q)& =\left|\overrightarrow{PQ}\right|\\ & =\sqrt{(q_x-p_x{)}^2+(q_y-p_y{)}^2+(q_z-p_z{)}^2}.\end{array}$$

对于上面的向量 $\mathbf{p}$ ,它的方向可以用与其同向的单位向量来表示,即

$$\frac{\mathbf{p}}{\left|\mathbf{p}\right|}=\frac{p_x}{\left|\mathbf{p}\right|}\mathbf{i}+\frac{p_y}{\left|\mathbf{p}\right|}\mathbf{j}+\frac{p_z}{\left|\mathbf{p}\right|}\mathbf{k}$$

由向量投影的定义可得

$$\frac{\mathbf{p}}{\left|\mathbf{p}\right|}=\cos \alpha \mathbf{i}+\cos \beta \mathbf{j}+\cos \gamma \mathbf{k}$$

其中 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 分别是向量 $\mathbf{p}$ 与 $x$ 轴, $y$ 轴和 $z$ 轴正向的夹角.

因为用 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 也能确定向量 $\mathbf{p}$ 的方向,称它们为向量 $\mathbf{p}$ 的方向角,其余弦 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 称为向量 $\mathbf{p}$ 的方向余弦. 显然有

$$\cos \alpha =\frac{p_x}{\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}}$$ $$\cos \beta =\frac{p_y}{\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}}$$ $$\cos \gamma =\frac{p_z}{\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}}.$$

并且对于任意非零向量, 其三个方向余弦的平方和等于 1 , 即

$${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$$

例题 1.1.

我们已经知道, 在空间直角坐标系中, 向量与它的坐标表示一一对应. 现在进一步考察向量的线性运算与其坐标表示的线性运算是否也一一对应,

设 $\lambda$ 是实数, $\mathbf{a}=a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k}$, $\mathbf{b}=b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k}$ , 也就是向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的坐标分别为 $\left(a_x,a_y,a_z\right)$ 和 $\left(b_x,b_y,b_z\right)$ .

由向量的线性运算及其性质可得

$$\mathbf{a}+\mathbf{b}=\left(a_x+b_x\right)\mathbf{i}+\left(a_y+b_y\right)\mathbf{j}+\left(a_z+b_z\right)\mathbf{k},$$ $$\lambda \mathbf{a}=\lambda a_x\mathbf{i}+\lambda a_y\mathbf{j}+\lambda a_z\mathbf{k}$$

由此可知, $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 的坐标为 \left( {{a}_{x} + {b}_{x},{a}_{y} + {b}_{y},{a}_{z} + {b}_{z}}\right) ,$$$\lambda \mathbf{a}$ 的坐标为 \left( {\lambda {a}{x},\lambda {a}{y},\lambda {a}_{z}}\right) .$$ 这表明向量的线性运算与其坐标表示的线性运算也一一对应.