3.2.2. 向量的外积

定义 2.2. 外积

设有向量 $c$ ,

$c$ 的模 $∣ c ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⟨ a, b ⟩,$

其方向与 $a, b$ 均垂直,

且 $a$ , $b$ , $c$ 成右手系,

则向量 $c$ 叫做向量 $a$ 与 $b$ 的外积 (向量积), 记作 $a \times b$ .

若 $a, b$ 中有一个为 0, 则 $a \times b = 0$ .

由定义知 $a \times b = 0$ 的充要条件是 $a$ 与 $b$ 共线.

Remark

外积的几何意义是: 当 $a$ 与 $b$ 不平行时, $∣ a \times b ∣$ 表示以 $a$ 和 $b$ 为邻边的平行四边形的面积.

性质 2.2.

对于任意的向量 $a, b, c$ ,以及任意实数 $λ$ ,外积有如下性质:

$a \times a = 0$ ;

$a \times b = - b \times a$

$(λ a) \times b = a \times (λ b) = λ (a \times b)$ ;

$(a + b) \times c = a \times c + b \times c$ .

利用定义 2.2 不难证明性质 (1), (2) 和 (3), 性质 (4) 的证明较烦琐, 这里从略.

下面导出外积在空间直角坐标系中的坐标表达式.

设 $a = a_{x} i + a_{y} j + a_{z} k$ , $b = b_{x} i + b_{y} j + b_{z} k$ ,由

i \times j j \times k k \times i i \times i = k, = i, = j, = j \times j = k \times k = 0.

以及外积的运算性质得

a \times b = (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}) i + (a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}) j + (a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}) k .

为便于记忆, 外积可写成行列式形式

a \times b = i a_{x} b_{x} j a_{y} b_{y} k a_{z} b_{z} .

例题 2.1

Youliang Zhong

3.2.2. 向量的外积

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