例题 2.1

Question

设向量 $\mathbf{a}=-\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k},\mathbf{b}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}$, 求 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ 及以 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形的面积 $S$.

解

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{rrr}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ -1& 1& 1\\ 2& -1& 1\end{array}\right|=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-\mathbf{k}$$ $$S=\left|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\right|=\sqrt{2^2+3^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{14}.$$