3.3.1. 平面的点法式方程

与平面垂直的非零向量叫做该平面的 法向量. 显然, 平面上任意一个向量都与其法向量垂直.

给定一点及一个非零向量, 就可以确定唯一的一个过给定点且以给定向量为法向量的平面. 反之, 给定一个平面, 我们可以在平面上任取一点及其一个法向量, 则这个平面就是过取定点且垂直于所取向量的平面. 因此, 平面可用一点及一个法向量来确定. 下面在此条件下建立平面的方程.

设

• $P_0\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 是平面 $\pi$ 上一点,
• $\mathbf{n}=A\mathbf{i}+$ $Bj+Ck$ 为平面 $\pi$ 的法向量.

易知,

$$\begin{array}{rl}& P\left(x,y,z\right)\text{在平面 }\pi \text{ 上 (如图 3.5 所示)}\\ & \iff \overrightarrow{P_{0}P}\perp \mathbf{n}\\ & \iff \overrightarrow{P_{0}P}\cdot \mathbf{n}=0.\end{array}$$

即

$$A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0,\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

这个方程称为平面的 点法式方程.

图 3.5

例题 3.1