例题 3.1

Question

已知平面过点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且平行于两个不共线的向量 $a = a_{x} i + a_{y} j + a_{z} k$ 和 $b = b_{x} i + b_{y} j + b_{z} k$ , 求此平面的方程.

解因为所求的平面平行于向量 $a$ 和 $b$ ,所以平面的法向量同时垂直于 $a$ 和 $b$ . 因此,平面的法向量 $n$ 可取为 $a \times b$ ,即

n = a \times b = a_{y} b_{y} a_{z} b_{z} i + a_{z} b_{z} a_{x} b_{x} j + a_{x} b_{x} a_{y} b_{y} k .

由平面的点法式方程可得所求的平面方程为

a_{y} b_{y} a_{z} b_{z} (x - x_{0}) + a_{z} b_{z} a_{x} b_{x} (y - y_{0}) + a_{x} b_{x} a_{y} b_{y} (z - z_{0}) = 0.

为便于记忆, 上面的平面方程可写成如下的行列式形式

x - x_{0} a_{x} b_{x} y - y_{0} a_{y} b_{y} z - z_{0} a_{z} b_{z} = 0.

Youliang Zhong