3.3.2. 平面的一般式方程

将平面的点法式方程 (3.1) 整理得

$$Ax+By+Cz+D=0,\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

其中 $D=-\left(A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0\right)$ . 这个方程称为平面的 一般式方程.

由此可知, 任何一个平面方程都可用一个三元一次方程来表示. 反之, 任意一个三元一次方程

$$Ax+By+Cz+D=0\text{ (其中 }A,B,C\text{ 不全为 }0\text{ ) }$$

都表示一个平面.

下面说明原因.

不失一般性, 设 $C\ne 0$ ,则上述方程可化为

$$A\left(x-0\right)+B\left(y-0\right)+C\left(z-\left(-\frac{D}{C}\right)\right)=0,$$

这是一个过点 $\left(0,0,-\frac{D}{C}\right)$ 且以 $\mathbf{n}=\left(A,B,C\right)$ 为法向量的平面. 因此,任意一个三元一次方程都表示一个平面.

由上述分析的结果可知, 平面与三元一次方程相对应, 且以方程中变量的系数作为坐标的向量 $\mathbf{n}=\left(A,B,C\right)$ 是平面的一个法向量.

对于一些特殊的三元一次方程, 我们来研究它们对应的平面的特点.

1. 当 $D=0$ 时, (3.2) 表示一个过原点的平面.
2. 当 $D\ne 0$ 时,若 $A,B,C$ 中只有一个为零,则平面平行于某个坐标轴.
   • 例如,当只有 $C=0$ 时,平面的法向量与 $z$ 轴垂直,因此平面平行于 $z$ 轴.
3. 当 $D\ne 0$ 时,若 $A,B,C$ 中只有一个不为零,则平面平行于某坐标面.
   • 例如,若只有 $A\ne 0$ ,则平面的法向量平行于 $x$ 轴,因此平面平行于 $yOz$ 面.

例题 3.2