3.4.1. 直线的点向式方程

与直线平行的非零向量叫做直线的 方向向量, 它的三个坐标称为直线的 方向数. 显然, 直线上的任意一个向量都与其方向向量平行.

在空间中, 给定一点及一个非零向量, 过给定点且平行于该向量可以确定唯一的一条直线. 反之,给定一条直线,在其上任取两个相异的点 $P_1$ 和 $P_2$ ,则这条直线就是过点 $P_1$ 且与向量 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 平行的直线. 因此,直线可用一点和一个方向向量确定. 下面根据此条件建立直线的方程.

设

• $P_0\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 是直线 $l$ 上一点,
• $s=mi+nj+pk$ 为 $l$ 的方向向量,
  • 即方向数为 $m,n$ 和 $p$ .

易知, 点 $P\left(x,y,z\right)$ 在直线 $l$ 上 $\iff$ $\overrightarrow{P_{0}P}//s$ ,即

$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}.\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

这种由一点和方向向量所确定的直线方程叫做直线的 点向式方程. 这种方程的结构对称, 因此也叫做直线的 对称式方程.

当方向数 $m,n$ 和 $p$ 中有的为零时,在形式上仍可用 (4.1) 来表示直线.

Example

$$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-3}$$

表示一条过点 $\left(1,2,3\right)$ 且以 $s=\left(2,0,-3\right)$ 为方向向量的直线. 显然,它是与 $xOz$ 平面平行的直线.

一般来说,若 $m,n$ 和 $p$ 中只有一个不为零,例如 $m\ne 0$ ,此时可把 (4.1) 理解为下列两个特殊平面的交线, 即

$$\{\begin{array}{l}y=y_0\\ z=z_0\end{array}$$

例题 4.1

这种由两点确定的直线方程叫做直线的 两点式方程.

在方程 (4.1) 中,若令其比值为 $t$ ,则 (4.1) 表示的对称式方程就化为

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt\end{array}\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

上面的方程叫做直线的 参数方程, 其中 $t$ 为参数.

例题 4.2