3.4.4 两直线间的关系

设有两条空间直线

$$l_1:\frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1}$$ $$l_2:\frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{p_2}.$$

显然, $l_1$ 过点 $P_1\left(x_1,y_1,z_1\right)$ 且方向向量为 $s_1=\left(m_1,n_1,p_1\right);l_2$ 过点 $P_2\left(x_2,y_2,z_2\right)$ 且方向向量为 ${\mathbf{s}}_2=\left(m_2,n_2,p_2\right)$ . 向量 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 的坐标为 $\left(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1\right)$ .

直线 $l_1$ 与 $l_2$ 不是共面就是异面,判别方法如下:

直线共面的等价条件

• 直线 $l_1$ 与 $l_2$ 共面
• 三个向量 $s_1,s_2,\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 共面
• $\left(s_1,s_2,\overrightarrow{P_1{P}_2}\right)=0$ ,即

$$\left|\begin{array}{lll}{m}_1& m_2& x_2-x_1\\ n_1& n_2& y_2-y_1\\ p_1& p_2& z_2-z_1\end{array}\right|=0.\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

当 $l_1$ 与 $l_2$ 共面时,它们之间有重合、平行和相交三种情况,判别方法如下:

1. $l_1$ 与 $l_2$ 重合
   • $s_1//s_2//\overrightarrow{P_1{P}_2}$

&m_{1} : n_{1} : p_{1} \ &= m_{2} : n_{2} : p_{2} \ &= \left( x_{2} - x_{1} \right) : \left( y_{2} - y_{1} \right) : \left( z_{2} - z_{1} \right). \end{align}2. ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 平行 - ${s}_{1}//{s}_{2}$ 且不平行于 $\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$ -\begin{align} &m_{1} : n_{1} : p_{1} \ &= m_{2} : n_{2} : p_{2} \ &\neq \left( x_{2} - x_{1} \right) : \left( y_{2} - y_{1} \right) : \left( z_{2} - z_{1} \right). \end{align}$$ 3. $l_1$ 与 $l_2$ 交于一点 - $s_1,s_2,\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 共面且 $s_1$ 与 $s_2$ 不平行 - $\left(4.4\right)$ 成立且 $m_1:n_1:p_1\ne m_2:n_2:p_2$ .

若 (4.4) 不满足, 则直线 $l_1$ 与 $l_2$ 异面.

例题 4.4.