例题 4.4.

Question

设两条直线分别为

$$l_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}$$ $$l_2:\frac{x-r}{2}=\frac{y-2}{t}=\frac{z+1}{-2}.$$

对 $r$ 和 $t$ 加以讨论,分析 $l_1$ 与 $l_2$ 的相对位置.

解 显然, $l_1$ 过点 $P_1\left(1,-2,1\right)$ 且方向向量为 ${\mathbf{s}}_1=\left(-1,2,1\right),l_2$ 过点 $P_2\left(r,2,-1\right)$ 且方向向量为 $s_2=\left(2,t,-2\right).\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 的坐标为 $\left(r-1,4,-2\right)$ ,并且

$$\left(s_1,s_2,\overrightarrow{P_1{P}_2}\right)=\left|\begin{array}{rrr}-1& 2& r-1\\ 2& t& 4\\ 1& -2& -2\end{array}\right|=-\left(r-3\right)\left(t+4\right).$$

由此可得

(1) 当 $r\ne 3$ 且 $t\ne -4$ 时, $\left(s_1,s_2,\overrightarrow{P_1{P}_2}\right)\ne 0$ . 因此, $l_1$ 与 $l_2$ 异面.

(2) 当 $t=-4$ 时,对任意 $r\in \mathbb{R}$ ,都有

$$\left(-1\right):2:1=2:\left(-4\right):\left(-2\right)\ne \left(r-1\right):4:\left(-2\right),$$

因此 $l_1$ 与 $l_2$ 平行.

(3) 当 $t\ne -4$ 且 $r=3$ 时,由 $\left(s_1,s_2,\overrightarrow{P_1{P}_2}\right)=0$ 且 $\left(-1\right):2:1\ne 2:t:\left(-2\right)$ 知 $l_1$ 和 $l_2$ 相交.

(4) 当 $t=2$ 时, $s_1\cdot s_2=0$ . 因此, $l_1$ 与 $l_2$ 垂直 (当 $r=3$ 时为共面垂直相交, 当 $r\ne 3$ 时为异面垂直).