3.4.5 两直线、两平面、直线和平面的夹角

现在我们用向量的夹角定义直线与直线、平面与平面, 以及直线与平面的夹角.

夹角

设直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的方向向量分别为 $s_1$ 和 $s_2$ ,平面 ${\pi }_1$ 和 ${\pi }_2$ 的法向量分别为 $n_1$ 和 $n_2$ .

1. 设 $s_1$ 和 $s_2$ 的夹角为 $\theta$ ,把 $\phi =\min \{\theta ,\pi -\theta \}$ 称为 直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的夹角. 显然 $\cos \phi =\frac{|{\mathbf{s}}_1\cdot {\mathbf{s}}_2|}{|{\mathbf{s}}_1||{\mathbf{s}}_2|}$

2. 设 ${\mathbf{n}}_1$ 与 ${\mathbf{n}}_2$ 的夹角为 $\theta$ ,把 $\phi =\min \{\theta ,\pi -\theta \}$ 称为 平面 ${\pi }_1$ 与 ${\pi }_2$ 的夹角. 显然 $\cos \phi =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}$

3. 设 $s_1$ 和 $n_1$ 的夹角为 $\theta$ ,把 $\phi =\frac{\pi }{2}-\min \{\theta ,\pi -\theta \}$称为 直线 $l_1$ 与平面 ${\pi }_1$ 的夹角 (如图 3.7 所示). 显然 $\sin \phi =\cos \left(\min \{\theta ,\pi -\theta \}\right)=\frac{|{\mathbf{s}}_1\cdot {\mathbf{n}}_1|}{|{\mathbf{s}}_1||{\mathbf{n}}_1|}.$

注意, 上述三种夹角都不大于 $\frac{\pi }{2}$ , 这与向量的夹角有所不同.

图 3.7

例题 4.5