例题 4.5

Question

求直线 $l:\frac{x-1}{-1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}$ 与平面 $\pi :x+y+2z=3$ 的夹角 $\phi$ .

解 $l$ 的方向向量为 $s=\left(-1,2,1\right),\pi$ 的法向量为 $\mathbf{n}=\left(1,1,2\right)$ . 由

$$\mathbf{s}\cdot \mathbf{n}=\left(-1\right)\times 1+2\times 1+1\times 2=3,$$ $$\left|s\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}$$ $$\left|\mathbf{n}\right|=\sqrt{{\left(1\right)}^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}$$

得

$$\sin \phi =\frac{\left|s\cdot n\right|}{\left|s\right|\left|n\right|}=\frac{1}{2}$$

因此, $\phi =\frac{\pi }{6}$ .