例题 2.3

Question

当 $k$ 为何值时, 四个点 $P\left(2,0,1\right)$, $A\left(1,2,3\right)$, $B\left(2,3,1\right)$ 和 $C\left(3,1,k\right)$ 共面?

解 令 $\mathbf{a}=\overrightarrow{PA}$, $\mathbf{b}=\overrightarrow{PB}$, $\mathbf{c}=\overrightarrow{PC}$ , 则 $\mathbf{a}=\left(-1,2,2\right)$, $\mathbf{b}=\left(0,3,0\right)$, $\mathbf{c}=$ $\left(1,1,k-1\right)$ .

因为

$$\left(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\right)=\left|\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 2& 3& 1\\ 2& 0& k-1\end{array}\right|=-3\left(k+1\right)$$

所以当 $k=-1$ 时, $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ 共面, 也就是 $P$, $A$, $B$, $C$ 四点共面.