3.2.3. 向量的混合积

定义 2.3. 混合积

三个向量 $a,b,c$ 的 混合积 记作 $\left(a,b,c\right)$ ,它是一个数,规定

$$\left(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\right)=\left(\mathbf{a}\times \mathbf{b}\right)\cdot \mathbf{c}.$$

混合积的几何意义

以三个非零向量 $a,b,c$ 为棱作一个平行六面体,其

• 底面积为 $\left|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\right|$,
• 高为 $\left|\mathbf{c}\right|\left|\cos \theta \right|$,
  • 其中 $\theta$ 为 $\mathbf{c}$ 与 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ 的夹角.

于是该平行六面体的体积为

$$\begin{array}{rl}V& =\left|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\right|\left|\mathbf{c}\right|\left|\cos \theta \right|\\ & =\left|\left(\mathbf{a}\times \mathbf{b}\right)\cdot \mathbf{c}\right|\\ & =\left|\left(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\right)\right|.\end{array}$$

由此可知, 三个向量混合积的绝对值 (与向量的次序无关) 是以它们为棱的平行六面体的体积.

易知,

• 若三个向量 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 符合右手法则,则 $V=\left(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\right)$,
• 否则 $V=-\left(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\right)$

由混合积的几何意义可知, 三个向量 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 共面的充要条件是 $(\mathbf{a},\mathbf{b}$ , c) $=0$ .

混合积 vs 行列式

• 例题 2.2
• 例题 2.3