性质 2.1

性质 2.1.

对于任意的向量 $a,b,c$ ,以及任意实数 $\lambda$ ,有

1. 若 $\mathbf{a}\ne 0$ ,则 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}>0$ ;
2. $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$
3. $\left(\lambda \mathbf{a}\right)\cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot \left(\lambda \mathbf{b}\right)=\lambda \left(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}\right)$ ;
4. $\left(\mathbf{a}+\mathbf{b}\right)\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}$ .

\begin{proof} 由内积的定义容易验证 (1), (2) 和 (3) 成立, 下面证明 (4) 也成立.

当 $\mathbf{c}=0$ 时,(4) 显然成立.

当 $\mathbf{c}\ne 0$ 时,由向量投影的性质可得

$$\begin{array}{rl}(a+b)\cdot c& =\left|c\right|{\Pi }_c(a+b)\\ & =\left|c\right|\left({\Pi }_{c}a+{\Pi }_{c}b\right)\\ & =\left|c\right|{\Pi }_{c}a+\left|c\right|{\Pi }_{c}b\\ & =a\cdot c+b\cdot c.\end{array}$$

因此 (4) 成立. \end{proof}