3.2.1. 向量的内积

在力学中,物体在与水平线成 $\theta$ 角的力 $\mathbf{F}$ 作用下产生水平位移 $s$,则力对物体所做的功为

$$W=\left|\mathbf{F}\right|\left|s\right|\cos \theta$$

将这个求功的运算进行数学抽象, 我们可以给出如下的定义.

定义 2.1. 内积

我们将实数 $\left|a\right|\left|b\right|\cos ⟨a,b⟩$ 称为向量 $a$ 与 $b$ 的 内积 (数量积), 记作 $a\cdot b$,即

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\left|\mathbf{a}\right|\left|\mathbf{b}\right|\cos ⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩$$

若 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 中有一个为零向量,则 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$.

显然若 $b\ne 0$,则有

$$a\cdot b=\left|b\right|{\Pi }_{b}a.$$Link to original

上式反映了向量的内积与向量的投影之间的关系.

由内积的定义可得

$$\left|a\right|=\sqrt{a\cdot a}$$

当 $a\ne 0,b\ne 0$ 时,

$$\cos ⟨a,b⟩=\frac{a\cdot b}{\left|a\right|\left|b\right|}$$

由内积的定义还可得到 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$ 的充要条件是 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$.

性质 2.1

下面利用内积的性质导出内积在空间直角坐标系中的坐标表达式.

设 $\mathbf{a}=a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k}$, $\mathbf{b}=b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k}$,由

$$\begin{array}{rl}\mathbf{i}\cdot \mathbf{j}& =\mathbf{j}\cdot \mathbf{k}=\mathbf{k}\cdot \mathbf{i}=0,\\ \mathbf{i}\cdot \mathbf{i}& =\mathbf{j}\cdot \mathbf{j}=\mathbf{k}\cdot \mathbf{k}=1.\end{array}$$

可得

$$\begin{array}{rl}& \mathbf{a}\cdot \mathbf{b}\\ & =\left(a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k}\right)\cdot \left(b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k}\right)\\ & =a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z.\end{array}$$

即两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积之和.