4.4.1. 基与坐标

首先看两个例子.

Example

在空间 ${\mathbb{R}}^3$ 中,建立空间直角坐标系,在 $x,y,z$ 轴上分别取单位向量 $i,j,k$ ,则它们是线性无关的向量组, 且空间中的任意一个给定向量 $p$ 可以唯一地表示为

$$\mathbf{p}=p_x\mathbf{i}+p_y\mathbf{j}+p_z\mathbf{k}$$

这里 $p_x,p_y,p_z\in \mathbb{R}$ , 而有序三元数组 $\left(p_x,p_y,p_z\right)$ 称为 向量 $\mathbf{p}$ 的坐标.

Example

在 ${\mathbb{R}}^n$ 中,容易验证向量组 ${\epsilon }_1=\left(1,0,\cdots ,0\right)$, ${\epsilon }_2=\left(0,1,\cdots ,0\right)$, $\cdots$, ${\epsilon }_n=\left(0,0,\cdots ,1\right)$ 是线性无关的,且对任意一个向量 $\alpha =\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)$ 都可以表示为 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 的线性组合

$$\alpha =a_1{\epsilon }_1+a_2{\epsilon }_2+\cdots +a_n{\epsilon }_n$$

且显然表示方法是唯一的.

这种关系就是本节要讨论的 “基” 与 “坐标” 的概念.

定义 4.1. 基与坐标

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $n$ 个向量, 若它满足

1. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 是线性无关的;
2. ${\mathbb{R}}^n$ 中任意一个向量 $\alpha$ 都可以被 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性表出,即存在 $x_1$ , $x_2,\cdots ,x_n\in \mathbb{R}$ ,使得 \mathbf{\alpha } = {x}_{1}{\mathbf{\alpha }}_{1} + {x}_{2}{\mathbf{\alpha }}_{2} + \cdots + {x}_{n}{\mathbf{\alpha }}_{n} \tag{4.1}则称 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组基, 而 $n$ 元有序数组 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 称为向量 $\alpha$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 下的坐标.

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易知向量 $\alpha$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 下的坐标是唯一确定的. 这是因为,若还有 $\alpha =y_1{\alpha }_1+y_2{\alpha }_2+\cdots +y_n{\alpha }_n$ ,则

$$\left(x_1-y_1\right){\alpha }_1+\left(x_2-y_2\right){\alpha }_2+\cdots +\left(x_n-y_n\right){\alpha }_n=0.$$

由向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 的线性无关性知

$$\begin{array}{rl}{x}_1-y_1& =0,\\ x_2-y_2& =0,\\ & ⋮\\ x_n-y_n& =0.\end{array}$$

故

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =y_1,\\ x_2& =y_2,\\ & ⋮\\ x_n& =y_n.\end{array}$$

由定义 4.1, 前面提到的 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的一组基, ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组基, 它们称为标准基, 而向量 $\alpha =\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)$ 在标准基下的坐标为 $\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)$ .

例题 4.1

由此可见, ${\mathbb{R}}^n$ 的基不唯一,且同一个向量在不同基下的坐标一般是不同的. 为了表达的方便, 我们引进一种形式的记法, 即将式子 (4.1) 表示为

$$\alpha =\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(4.1’)}$$

也就是将基写成一个 $1\times n$ 矩阵,将向量的坐标写成一个 $n\times 1$ 矩阵,而将向量 $\alpha$ 看成是这两个矩阵的乘积 $\alpha =\sum _{i=1}^n{x}_i{\alpha }_i$ . 之所以称这个记法是 “形式的”, 是由于这里矩阵 $\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)$ 是以行向量 ${\alpha }_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 作为矩阵的元素, 一般是没有意义的.