定义 4.1. 基与坐标

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $n$ 个向量, 若它满足

1. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 是线性无关的;
2. ${\mathbb{R}}^n$ 中任意一个向量 $\alpha$ 都可以被 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性表出,即存在 $x_1$ , $x_2,\cdots ,x_n\in \mathbb{R}$ ,使得 \mathbf{\alpha } = {x}_{1}{\mathbf{\alpha }}_{1} + {x}_{2}{\mathbf{\alpha }}_{2} + \cdots + {x}_{n}{\mathbf{\alpha }}_{n} \tag{4.1}则称 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组基, 而 $n$ 元有序数组 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 称为向量 $\alpha$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 下的坐标.