习题四

1

解下列线性方程组:

1.1

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-5x_3+4x_4+x_5=4,\\ 3x_1+7x_2-x_3-3x_4+2x_5=10,\\ -x_2-13x_3-2x_4+x_5=-14,\\ x_3-16x_4+2x_5=-11,\\ 2x_4+5x_5=12;\end{array}$$

1.2

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+3x_3+4x_4=0,\\ 7x_1+14x_2+20x_3+27x_4=0,\\ 5x_1+10x_2+16x_3+19x_4=-2,\\ 3x_1+5x_2+6x_3+13x_4=5.\end{array}$$

2

设 $\beta =\left(1,2,1,1\right)$, ${\alpha }_1=\left(1,1,1,1\right)$, ${\alpha }_2=\left(1,1,-1,-1\right)$, ${\alpha }_3=\left(1,-1,1,-1\right)$, ${\alpha }_4=\left(1,-1,-1,1\right)$. 试将 $\beta$ 表示成向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 的线性组合.

3

设 ${\alpha }_1=\left(3,-1,1\right)$, ${\alpha }_2=\left(1,1,2\right)$, ${\alpha }_3=\left(1,-3,-3\right)$, ${\alpha }_4=\left(4,0,5\right)$ .

3.1

证明: ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性相关;

3.2

证明: ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4$ 线性无关.

4

设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关. 证明: 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$ 也线性无关.

5

证明: 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 与向量组 ${\beta }_1={\alpha }_2+{\alpha }_3+\cdots +{\alpha }_s$, ${\beta }_2={\alpha }_1+{\alpha }_3+\cdots +{\alpha }_s$, $\cdots$, ${\beta }_s={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_{s-1}$ 等价.

6

在 ${\mathbb{R}}^3$ 中,求由基 ${\alpha }_1=\left(1,2,-1\right)$, ${\alpha }_2=\left(1,-1,1\right)$, ${\alpha }_3=\left(-1,2,1\right)$ 到基 ${\beta }_1=\left(2,0,1\right)$, ${\beta }_2=\left(0,1,1\right)$, ${\beta }_3=\left(1,-1,2\right)$ 的过渡矩阵.

7

已知 ${\alpha }_1=\left(1,0,0\right),{\alpha }_2=\left(1,1,0\right),{\alpha }_3=\left(1,1,1\right)$ 和 ${\beta }_1=\left(1,2,3\right),{\beta }_2=\left(2,3,1\right),{\beta }_3=\left(3,1,2\right)$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的两组基.

7.1

求从基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 的过渡矩阵;

7.2

分别求向量 $\alpha =\left(1,0,1\right)$ 在这两组基下的坐标.

8

在 ${\mathbb{R}}^3$ 中求向量 $\alpha =\left(3,7,1\right)$ 在基 ${\alpha }_1=\left(1,3,5\right),{\alpha }_2=\left(6,3,2\right),{\alpha }_3=\left(3,1,0\right)$ 下的坐标.

9

在 ${\mathbb{R}}^4$ 中找一个向量 $\gamma$ ,使它在标准基 ${\epsilon }_1$, ${\epsilon }_2$, ${\epsilon }_3$, ${\epsilon }_4$ 和基 ${\beta }_1=\left(2,1,-1,1\right)$, ${\beta }_2=\left(0,3,1,0\right)$, ${\beta }_3=\left(5,3,2,1\right)$, ${\beta }_4=\left(6,6,1,3\right)$ 下有相同的坐标.

10

在 ${\mathbb{R}}^3$ 中,求由基 ${\epsilon }_1=\left(1,1,1\right)$, ${\epsilon }_2=\left(1,1,-1\right)$, ${\epsilon }_3=\left(1,-1,1\right)$ 到基 ${\eta }_1=\left(1,1,0\right)$, ${\eta }_2=\left(2,1,3\right)$, ${\eta }_3=\left(0,1,-1\right)$ 的过渡矩阵, 并求向量 $\xi =\left(3,5,0\right)$ 在基 ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3$ 下的坐标.

11

设向量组 ${\xi }_1=\left(1,-1,2,4\right)$, ${\xi }_2=\left(0,3,1,2\right)$, ${\xi }_3=\left(3,0,7,14\right)$, ${\xi }_4=\left(1,-1,2,0\right)$, ${\xi }_5=\left(2,1,5,6\right)$.

11.1

证明: ${\xi }_1,{\xi }_2$ 线性无关;

11.2

求向量组中包含 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 的极大线性无关组.

12

设 ${\alpha }_1=\left(2,1,2,2,-4\right)$, ${\alpha }_2=\left(1,1,-1,0,2\right)$, ${\alpha }_3=\left(0,1,2,1,-1\right)$, ${\alpha }_4=(-1,-1,-1,-1,1)$, ${\alpha }_5=\left(1,2,1,1,1\right)$. 试确定向量组 ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_3$, ${\alpha }_4$, ${\alpha }_5$ 的秩和极大线性无关组.

13

证明: 若向量组 (I) 可由向量组 (II) 线性表出, 则向量组 (I) 的秩不超过向量组 (II) 的秩.

14

设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 都是 $m\times n$ 矩阵,证明: $r\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)\le r\left(\mathbf{A}\right)+r\left(\mathbf{B}\right)$.

15

设 $\mathbf{A}$ 是 $m\times n$ 矩阵,证明: $r\left({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\right)=r\left(\mathbf{A}\right)$.

16

设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 均为 $n\times n$ 矩阵,且 $\mathbf{AB}=0$ . 证明: $r\left(\mathbf{A}\right)+r\left(\mathbf{B}\right)\le n$.

17

设 $\mathbf{A}$ 为 $n\times n$ 矩阵,且 ${\mathbf{A}}^2=\mathbf{A}$ . 证明: $r\left(\mathbf{A}\right)+r\left(\mathbf{A}-\mathbf{E}\right)=n$.

18

设 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_{n-r}$ 为齐次线性方程组 $\mathbf{AX}=0$ 的一个基础解系, 这里 $r=r\left(\mathbf{A}\right)$. 证明: 与 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_{n-r}$ 等价的线性无关的向量组 ${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_{n-r}$ 仍是 $\mathbf{AX}=0$ 的一个基础解系.

19

求下列齐次线性方程组的一个基础解系, 并写出通解:

19.1

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+x_3-x_4=0,\\ 3x_1+6x_2-x_3-3x_4=0,\\ 5x_1+10x_2+x_3-5x_4=0;\end{array}$$

19.2

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0,\\ 3x_1+2x_2+x_3+x_4-3x_5=0,\\ x_2+2x_3+2x_4+6x_5=0,\\ 5x_1+4x_2+3x_3+3x_4-x_5=0;\end{array}$$

19.3

$$\{\begin{array}{l}3x_1+4x_2+x_3+2x_4+3x_5=0,\\ 5x_1+7x_2+x_3+3x_4+4x_5=0,\\ 4x_1+5x_2+2x_3+x_4+5x_5=0,\\ 7x_1+10x_2+x_3+6x_4+5x_5=0.\end{array}$$

20

设线性方程组为

$$\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+3x_3+2x_4=0\\ 9x_1-x_2+14x_3+2x_4=1\\ 3x_1+2x_2+5x_3-4x_4=1\\ 4x_1+5x_2+7x_3-10x_4=2\end{array}$$

20.1

求方程组导出组的一个基础解系;

20.2

用特解和导出组的基础解系表示方程组的所有解.

21

求下列非齐次线性方程组的通解:

21.1

$$\{\begin{array}{l}2x_1+7x_2+3x_3+x_4=6,\\ 3x_1+5x_2+2x_3+2x_4=4,\\ 9x_1+4x_2+x_3+7x_4=2,\\ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=7;\end{array}$$

21.2

$$\{\begin{array}{l}3x_1+2x_2+x_3+x_4-3x_5=-2,\\ x_2+2x_3+2x_4+6x_5=23,\\ 5x_1+4x_2+3x_3+3x_4-x_5=12;\end{array}$$

21.3

$$\{\begin{array}{l}12x_1+14x_2-15x_3+23x_4+27x_5=5,\\ 16x_1+18x_2-22x_3+29x_4+37x_5=8,\\ 18x_1+20x_2-21x_3+32x_4+41x_5=9,\\ 10x_1+12x_2-16x_3+20x_4+23x_5=4\end{array}$$

21.4

$$\{\begin{array}{l}2x_1+5x_2+x_3+3x_4=2,\\ 4x_1+6x_2+3x_3+5x_4=4,\\ 4x_1+14x_2+x_3+7x_4=4,\\ 2x_1-3x_2+3x_3+6x_4=7.\end{array}$$

22

已知线性方程组

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-2x_3+3x_4=0,\\ 2x_1+x_2-6x_3+4x_4=-1,\\ 3x_1+2x_2+p{x}_3+7x_4=-1,\\ x_1-x_2-6x_3-x_4=t.\end{array}$$

讨论参数 $p,t$ 取何值时, 方程组有解, 无解; 有解时, 试用导出组的基础解系表示通解.

23

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 为线性方程组 $\mathbf{AX}=0$ 的一个基础解系: ${\beta }_1=t_1{\alpha }_1+t_2{\alpha }_2$, ${\beta }_2=t_1{\alpha }_2+t_2{\alpha }_3$, $\cdots$,${\beta }_s=t_1{\alpha }_s+t_2{\alpha }_1$, 其中 $t_1,t_2$ 为实常数. 试问 $t_1,t_2$ 满足什么关系时, ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$ 也为 $\mathbf{AX}=0$ 的一个基础解系.

24

设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 证明: 非齐次线性方程组 $\mathbf{AX}=\mathbf{b}$ 对任何 $\mathbf{b}$ 都有解的充要条件是 $\left|A\right|\ne 0$ .

25

对于 $\lambda$ 不同的值, 判断下列方程组是否有解, 有解时求出全部的解:

25.1

$$\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=1,\\ x_1+\lambda x_2+x_3=1,\\ x_1+x_2+\lambda x_3=1;\end{array}$$

25.2

$$\{\begin{array}{l}\left(1+\lambda \right)x_1+x_2+x_3=1,\\ x_1+\left(1+\lambda \right)x_2+x_3=\lambda ,\\ x_1+x_2+\left(1+\lambda \right)x_3={\lambda }^2;\end{array}$$

25.3

$$\{\begin{array}{l}\left(3-2\lambda \right)x_1+\left(2-\lambda \right)x_2+x_3=\lambda ,\\ \left(2-\lambda \right)x_1+\left(2-\lambda \right)x_2+x_3=1,\\ x_1+x_2+\left(2-\lambda \right)x_3=1.\end{array}$$

26

设 $\mathbf{A}$ 为 $m\times n$ 矩阵, 证明: 若任一个 $n$ 维向量都是 $\mathbf{AX}=0$ 的解, 则 $\mathbf{A}=0$ .

27

设有方程组

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=a_1\\ x_2-x_3=a_2\\ x_3-x_4=a_3\\ x_4-x_5=a_4\\ x_5-x_1=a_5\end{array}$$

证明: 方程组有解的充要条件为

$$\sum _{i=1}^5{a}_i=0$$

在有解的情况下, 求出它的一般解.

28

设 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_t$ 是非齐次线性方程组 $\mathbf{AX}=\mathbf{b}$ 的解. 证明:

$$k_1{\eta }_1+k_2{\eta }_2+\cdots +k_t{\eta }_t$$

也是 $\mathbf{AX}=\mathbf{b}$ 的一个解的充要条件是 $k_1+k_2+\cdots +k_t=1.$

29

设 $\mathbf{A}$ 为 $n\left(n\ge 2\right)$ 阶方阵,那么

$$r\left({\mathbf{A}}^{\ast }\right)=\{\begin{array}{ll}n,& r\left(\mathbf{A}\right)=n,\\ 1,& r\left(\mathbf{A}\right)=n-1,\\ 0,& r\left(\mathbf{A}\right)<n-1.\end{array}$$