定理 5.4

定理 5.4.

设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 分别为 $m\times n,n\times s$ 矩阵,则

$$r\left(\mathbf{AB}\right)\le \min \{r\left(\mathbf{A}\right),r\left(\mathbf{B}\right)\}.$$

\begin{proof} 设

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1s}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2s}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{ns}\end{array}\right)$$

令 $\mathbf{A}$ 的列向量组为 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n,\mathbf{AB}$ 的列向量组为 ${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_s$ . 即有 $\mathbf{A}=$ $\left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n\right),\mathbf{AB}=\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_s\right)$ , 所以

$$\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_s\right)=\left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n\right)\mathbf{B},$$

这表明 ${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_s$ 可由 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 线性表出. 由 13 得

$$r\left(AB\right)\le r\left(A\right).$$

又设

$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right),\mathbf{AB}=\left(\begin{array}{c}{\delta }_1\\ {\delta }_2\\ ⋮\\ {\delta }_m\end{array}\right)$$

其中 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 为 $B$ 的行向量组, ${\delta }_1,{\delta }_2,\cdots ,{\delta }_m$ 为 $AB$ 的行向量. 故有

$$\left(\begin{array}{c}{\delta }_1\\ {\delta }_2\\ ⋮\\ {\delta }_m\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right)$$

这表明 ${\delta }_1,{\delta }_2,\cdots ,{\delta }_m$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性表出. 由本章习题 13 得

$$r\left(AB\right)\le r\left(B\right)$$

故结论成立. \end{proof}