例题 1.4

解线性方程组

$$\{\begin{array}{ll}{x}_1+4x_3-2x_4& =1\\ 2x_1-x_2+9x_3-5x_4& =2\\ x_1-x_2+5x_3& =-1\\ 2x_1+3x_2+5x_3+5x_4& =-2\end{array}$$

解 方程组的增广矩阵为

$$\tilde{A}=\left(\begin{array}{rrrrr}1& 0& 4& -2& 1\\ 2& -1& 9& -5& 2\\ 1& -1& 5& 0& -1\\ 2& 3& 5& 5& -2\end{array}\right)$$

用初等行变换将其化成下面的阶梯形矩阵

$$\left(\begin{array}{rrrrr}1& 0& 4& -2& 1\\ 0& -1& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 3& -2\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

由于 $r\left(\tilde{\mathbf{A}}\right)=r\left(\mathbf{A}\right)=3$ ,所以方程组有解,且原方程组与方程组

$$\{\begin{array}{ll}{x}_1+4x_3-2x_4& =1\\ -x_2+x_3-x_4& =0\\ 3x_4& =-2\end{array}$$

同解. 由于 $n-r\left(\mathbf{A}\right)=4-3=1$ ,解中有一个自由未知量,把 $x_3$ 移到右端,作为自由未知量, 得

$$\{\begin{array}{ll}{x}_1-2x_4& =1-4x_3,\\ -x_2-x_4& =-x_3,\\ 3x_4& =-2.\end{array}$$

令 $x_3=t$ ,解得

$$x_4=-\frac{2}{3},x_2=\frac{2}{3}+t,x_1=-\frac{1}{3}-4t.$$

故方程组的解为

$$\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left(-\frac{1}{3}-4t,\frac{2}{3}+t,t,-\frac{2}{3}\right).$$

Question

本题中的 $x_2$ 或 $x_1$ 能作自由未知量吗?