例题 6.1

例题 6.1.

用本节的方法求 例题 1.2 中方程组的通解.

解 在例题 1.2 中, $x_3,x_4,x_5$ 是自由未知量,取 $x_3=x_4=x_5=0$ ,得到非齐次方程组的一个特解 ${\gamma }_0=\left(6,-4,0,0,0\right)$ . 对应的齐次方程组与下列齐次方程组同解

$$\{\begin{array}{ll}{x}_1+x_2+x_3+x_4+x_5& =0\\ x_2-x_3-x_4-5x_5& =0\end{array}\text{\hspace{1em}(6.12)}$$

依次令 $\left(x_3,x_4,x_5\right)=\left(1,0,0\right),\left(0,1,0\right),\left(0,0,1\right)$ ,得到齐次线性方程组的基础解系

$${\eta }_1=\left(-2,1,1,0,0\right)$$ $${\eta }_2=\left(-2,1,0,1,0\right)$$ $${\eta }_3=\left(-6,5,0,0,1\right)$$

故得非齐次线性方程组的通解为

$$\gamma =\left(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\right)$$ $$=\left(6,-4,0,0,0\right)+k_1\left(-2,1,1,0,0\right)+k_2\left(-2,1,0,1,0\right)+k_3\left(-6,5,0,0,1\right),$$

这里 $k_1,k_2,k_3$ 为任意常数. 容易算得

$$\left(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\right)=\left(-2k_1-2k_2-6k_3+6,k_1+k_2+5k_3-4,k_1,k_2,k_3\right),$$

此与例题 1.2 中的结果一致.