4.6 线性方程组解的结构

线性方程组

$$\{\begin{array}{ll}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =b_2,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots & \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =b_m\end{array}\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

与齐次线性方程组

$$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0\end{array}\text{\hspace{1em}(6.2)}$$

的矩阵形式分别为

$$AX=b\text{\hspace{1em}(6.3)}$$

和

$$AX=0,\text{\hspace{1em}(6.4)}$$

其中 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{mn},\mathbf{X}={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\mathrm{T}},\mathbf{b}={\left(b_1,b_2,\cdots ,b_m\right)}^{\mathrm{T}}$ .

若设 ${\alpha }_i={\left(a_{1i},a_{2i},\cdots ,a_{mi}\right)}^{\mathrm{T}}\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ , 则线性方程组 (6.1) 又可以用以下向量方程表出:

$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=\mathbf{b}.\text{\hspace{1em}(6.5)}$$

从而有如下的定理.

定理 6.1. 有解的充要条件

首先考察齐次线性方程组解的结构.

性质 6.1. 加法封闭

性质 6.2. 数乘封闭

显然, 齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组的解, 且若齐次线性方程组有一个非零解, 则它必有无数多个解.

Question

齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限几个解的线性组合表示出来?

回答是肯定的, 为此引入下面的定义.

定义 6.1. 基础解系

若齐次线性方程组 (6.2) 的一组解 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_t$ 满足以下两个条件:

1. ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_t$ 线性无关,
2. 齐次线性方程组的任意一个解都可由 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_t$ 线性表出, 则称这组解 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_t$ 为齐次线性方程组的一个 基础解系.

Link to original

定理 6.2. 齐次方程解集的结构

实际上, 定理的证明过程给出了一个具体求基础解系的方法.

定义 6.2. 通解

设齐次线性方程组 (6.2) 的一个基础解系为 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_{n-r}$ , 称

$$\eta =c_1{\eta }_1+c_2{\eta }_2+\cdots +c_{n-r}{\eta }_{n-r}$$

为齐次线性方程组 (6.2) 的通解或一般解, 其中 $c_1,c_2,\cdots ,c_{n-r}$ 为任意常数.

Link to original

下面我们来讨论一般线性方程组解的结构. 它的解与其对应的齐次线性方程组 (即它的导出组) 的解有以下关系.

性质 6.3. 解的差是齐次解

性质 6.4

根据以上两个性质, 我们可得到一般线性方程组解的结构定理.

定理 6.3. 解=特解+齐次解

一般线性方程的求解步骤

由此也可归纳出下面的定理.

定理 6.4. 解=特解+基础解系

例题 6.1

例题 6.2