坐标变换公式

设

• ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 和 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的两组基,
• $\mathbf{A}$ 是由基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 的过渡矩阵.
• $\alpha$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个向量,
  • 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 下的坐标为 $\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$,
  • 在基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 下的坐标为 $\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$,

则

$$\begin{array}{rl}\alpha & =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n\\ & =\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(4.3)}$$ $$\begin{array}{rl}\alpha & =y_1{\beta }_1+y_2{\beta }_2+\cdots +y_n{\beta }_n\\ & =\left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right).\end{array}$$

且 $\left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n\right)=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)\mathbf{A}.$ 从而

$$\begin{array}{rl}\alpha & =\left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)\\ & =\left(\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)\mathbf{A}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)\\ & =\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)\left(\mathbf{A}\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

因为向量 $\alpha$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 下的坐标是唯一确定的, 由 (4.3) 和 (4.4) 得到

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\mathbf{A}\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

即

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=a_{11}{y}_1+a_{12}{y}_2+\cdots +a_{1n}{y}_n,\\ x_2=a_{21}{y}_1+a_{22}{y}_2+\cdots +a_{2n}{y}_n,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_n=a_{n1}{y}_1+a_{n2}{y}_2+\cdots +a_{nn}{y}_n.\end{array}\text{\hspace{1em}(4.5’)}$$

式子 (4.5) 或 ${\left(4.5\right)}^{\prime }$ 称为 坐标变换公式.

思考题:

(4.4) 式最后一个等号为什么成立?

最后,我们断言: 由基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 的过渡矩阵 $\mathbf{A}$ 是可逆的 (证明作为习题). 故由 ${\left(4.2\right)}^{\prime }$ 可知, 由基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 到基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 的过渡矩阵是 $A^{-1}$ .

综上所述, 有下述定理.

定理 4.1. 过渡矩阵给出坐标变换

例题 4.2 求坐标