定理 4.1. 过渡矩阵给出坐标变换

定理 4.1. 过渡矩阵给出坐标变换

设 ${\mathbb{R}}^n$ 中的基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 的过渡矩阵为 $A$, 则 $A$ 是可逆矩阵, 若向量 $\alpha \in {\mathbb{R}}^n$ 在这两组基下的坐标分别是 $(x_1,x_2,\cdots$ , $x_n)$ 和 $\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$, 则

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\mathbf{A}\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)\text{ 或 }\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)={\mathbf{A}}^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$