定理 3.1 线性相关的充要条件

定理 3.1. 线性相关的充要条件

向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性相关的充要条件是 向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表出.

证明 充分性 设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 中至少有一个向量可由其余向量线性表出,不妨设 ${\alpha }_m$ 能由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{m-1}$ 线性表出,即

$${\alpha }_m=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_{m-1}{\alpha }_{m-1}$$

或

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_{m-1}{\alpha }_{m-1}-{\alpha }_m=0.$$

由于 $k_1,k_2,\cdots ,k_{m-1},-1$ 不全为零,故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性相关.

必要性 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性相关,即存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$ , 使

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m=0.$$

不妨设 $k_m\ne 0$ ,于是

$${\alpha }_m=-\frac{k_1}{k_m}{\alpha }_1-\frac{k_2}{k_m}{\alpha }_2-\cdots -\frac{k_{m-1}}{k_m}{\alpha }_{m-1},$$

即 ${\alpha }_m$ 可由其余向量线性表出.